LIVRE VII

LF. S CORPS RONDS.

gendrée par la rotation de AB autour de xy, on a, d’après le théorème précédent,

aire AB — A' B', cire . 01,

et de même

aire AC — B' C'. cire . 01 , aire CD = C'D'. cire .01,

d’où, en ajoutant,

aire ABCD = ( A' B' h- B' C' -f- C' D' ) . cire . 01 = cire . 01 . A'D' . Corollaires.

837. Considérons un arc de cercle AD et une ligne brisée régulière inscrite ABCD; tandis que l’arc AD tourne autour du diamètre xOy, la ligne brisée engendre une aire qui tend vers une limite indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro. En effet, dans le produit A'D' .cire. 01 qui mesure cette aire, le premier facteur A'D' est invariable et le second cire. 01 a toujours pour limite cire. OA. C’est cette limite de l’aire engendrée par la ligne brisée régulière inscrite qu’on appelle aire de la zone décrite par l’arc AD.

On voit sans peine que la ligne brisée A^C D, circonscrite au même arc et semblable à la ligne inscrite ABCD engendre une aire qui tend vers la môme limite. En effet, on a

a;reA, B^D, A', D', .cire. OA aire ABCD — A'D'. cire. 01

Or le rapport ~ tend vers l’unité lorsque le nombre des

11 circ.Oi 01

côtés de la ligne brisée ABCD croît indéfiniment, et il en est de même A' D'

du rapport / qui, en vertu de la similitude des polygones A'ABCDD', A U

A',A, B, C,D1 D',, est aussi égala

OA

THÉORÈME

838. L'aire d'une zone sphérique a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle.

Bar définition, l’aire de la zone est la limite vers laquelle tend l’aire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l’arc générateur de la zone, lorsque le nombre des côtés de celte ligne brisée croît indéfiniment. D'après cela, soient S

GÉOMÉTRIE BANS L’ESPACE

l’aire de la zone, H sa hauteur, et R le rayon de Tare générateur, c’est-à-dire le rayon de la sphère à laquelle la zone appartient; soient de même s l’aire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l’arc générateur, et a l’apothème de cette ligne brisée. On a (836), puisque la projection de la ligne brisée sur l’axe est aussi égale à H,

S - - U . 'J.7ÎÜ.

Mais, lorsqu’on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, H reste invariable, s tend vers S, et a vers R. On a donc, à la limite,