LIVRE VII

LES CORPS RONDS

THÉORÈME

846. Si l’on prend pour unité d'angle V angle droit et pour unité d’aire l’aire du triangle tri rectangle, un fuseau a pour mesure le double du nombre qui mesure son angle.

On voit immédiatement que, sur la même sphère ou sur des sphères égales : i° deux fuseaux de même angle sont superposables; 2° un fuseau est égal à la somme de deux autres, si son angle est égal à la somme des angles de ces deux autres.

Il résulte de là (lre Partie, Note I) que deux fuseaux quelconques d’ une même sphère sont entre eux comme leurs angles.

Cela étant, soient A et A' les nombres qui mesurent les angles de deux fuseaux d’une même sphère, l’angle droit étant pris pour unité; et soient F et F7 les nombres qui mesurent ces fuseaux, le triangle trirectangle (813) étant pris pour unité d’aire; on aura

Prenons A' = i ; le fuseau correspondant, ayant son angle droit, sera égal au quart de la sphère, c’est-à-dire au double du triangle trirectangle : on aura donc F' = 2 et, par suite,

d’où F == 2A.

THÉORÈME

847. Si l’on prend l’angle droit pour unité d’angle et le triangle trirectangle pour unité d’aire, l’aire d’un triangle sphérique a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, diminuée de 2.

Fig. 465.

Soit (Jig. 465) ABC le triangle proposé,* achevons le grand

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPAGK.

cercle AB, et prolongeons les côtés AC, BC, jusqu’aux points A' et B' où ils rencontrent ce grand cercle. On aura évidemment

ABC -4- BCA' = fus. A,

ABC -h ACB' = fus. B,

et (845)

ABC + B CA' = fus. C.

La somme des premiers membres de ces trois égalités se com¬

pose de la demi-sphère et de deux fois l’aire du triangle ABC. Comme, dans le système d’unités adopté, la demi-sphère est mesurée par le nombre 4? si l’on désigne par S, A, B, C les nombres qui mesurent Faire et les angles du triangle, on aura (846)

SCOLIES

848. Soient R le rayon de la sphère évalué en mètres, <7 Faire du triangle en mètres carrés, et a, ê, y les angles de ce triangle évalués en degrés; on aura, en observant que le triangle tri-

rectangle est égal au huitième - tt R2 de la sphère.

-, C = JL,

et, par suite, en vertu de la relation (1),

ÿ7lR2