LIVRE VII
LES CORPS RONDS
5 oc^gSSmyriamètres carrés. Son rayon estd’ailleurs
20 ooo ooom
ou 6 366 kilomètres, à i kilomètre près. Le volume du globe terrestre, égal au produit de son aire par le tiers du rayon, sera donc 1 081000 ooo myriamètres cubes, à un million de myriamètres cubes près.
Si l’on prend le rayon du globe terrestre pour unité, le rayon du Soleil est représenté par 108, 5. L’aire et le volume du Soleil sont donc environ 1 1 800 fois et 1280000 fois l’aire et le volume de la Terre (842, 862).
20 Trouver le rayon de la sphère dont le volume est un mètre cube.
La formule
^7:R3=i donne R— \ ~~om,620,
à moins d’un millimètre.
Scolie.
834. Les volumes de deux polyèdres circonscrits à la même sphère ou à des sphères égales sont entre eux comme les aires de ces mêmes poly'èclres ,
Si l’on décomposa, en effet, les polyèdres donnés en pyramides, en prenant pour centre de décomposition le centre de la sphère inscrite, la mesure du volume de chacun d’eux s’obtient en multipliant l’aire de sa surface par le tiers du rayon de la sphère (646).
THÉORÈME
865. Le volume engendré par un segment circulaire tournant autour d'un diamètre extérieur à sa surface équivaut au sixième du cylindre qui a pour rayon la corde du segment et pour hauteur la projection de cette corde sur l’axe .
Le segment AmB (fi g. 47 4) esl la différence du secteur circulaire AOR et du triangle isocèle AOB; la portion du volume de la sphère engendrée par ia rotation de ce segment sera donc
GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
égale à la différence des volumes du secteur sphérique AOB et du triangle tournant AOB.
Fig. 47/1 .
/''TVN
NV
DF étant la projection de AB sur xy et 01 la hauteur du triangle AOB, on aura (858, 838, 855, 835)
sect.sph.AOB — zone AB. --^ = ^7tOA .DF,
vol. AOB = aire ÀB ^ ^ ttOÏ . DF.
Par suite,
vol. Am B = % 7i (AO — 01 ) DF.
Le triangle rectangle OIA donnant
OA — 01 = Al =
il vient, en réduisant,
vol.AmB — T: 7r A B .DF, o
ce qui vérifie l’énoncé.
THÉORÈME
863. Le volume d* un segment sphérique équivaut au volume d'une sphère ayant pour diamètre la hauteur du segmen t , augmenté de la demi-somme des volumes de deux cylindres aj uni pour hauteur commune celle du segment , et pour bases respectives les bases du segment.
Le trapèze mixtiligne DAmBF [fi g. 4-7N engendre un segment sphérique en tournant autour du diamètre xy (854). Ce segment est donc la somme des volumes engendrés par le segment circulaire Am B et le trapèze rectangulaire I)ABF. On a d’abord (865)
vol. A m B
