LIVRE Vil

LES CORPS RONDS

878. Deux sections, l'une A,B( parallèle, Vautre CD anti-parallèle à la base d’un cône oblique a basa circulaire, sont toujours situées sur une meme sphère; car les deux sections circulaires A, B, et CD [fig. 482) doivent (875) être perpendiculaires à un même plan SAB passant par leurs centres, et le quadrilatère A,B,DC situé dans ce plan doit être inscriptible; les cercles A, B, et CD sont donc sur la sphère dont le grand cercle passe par les quatre points A,, B,, C, D.

Inversement, par deux cercles A, B, et CD placés sur la surface d’une sphère, on peut toujours faire passer deux cônes . — En effet, soient {fi g. 482) A(B,DC une section passant par le centre de la sphère et par les centres des deux cercles, et A, B,, CD les diamètres de ces cercles, déterminés par la section A,B,CD; les plans de ces cercles seront perpendiculaires au plan sécant A, B, CD. Or, si l’on mène les droites A,C et B, D, leur point de concours S sera le sommet d’un cône ayant pour base le cercle A, B, et passant par les points C et D. Mais l’angle DCS est égal à l’angle A, B( S : donc la section CD faite dans le cône par un plan perpendiculaire à A,B,DC sera un cercle ayant CD pour diamètre; donc ce cercle se confond avec le cercle CD de la sphère. Il y a un second cône qui coupe la sphère suivant les mêmes cercles A, B, et CD ; son sommet est à l’intersection S' des deux diagonales B, C et A,D. Ces deux cônes peuvent, dans certains cas, dégénérer en cylindres.

879. Il résulte encore des considérations précédentes que, lorsqu'un cône S pénètre dans une sphère suivant un cercle A, B,, il en sort suivant un second cercle CD.

880. Dans un cône oblique à base circulaire, les centres des sections parallèles à la base sont distribués sur une même droite passant par le sommet; les centres des sections anti-parallèles à la base sont aussi placés sur une seconde droite passant par le sommet. Il importe de connaître •la situation respective de ces deux droites.

Soit SAB la section principale du cône dont la base est le cercle décrit sur AB comme diamètre. Le cercle circonscrit au triangle ASB [fi g, 483) est un grand cercle de la sphère qui contient le cercle AB et le sommet S du cône. La tangente SG au cercle SAB est la trace sur SAB du plan tangent à la sphère en S, et ce plan tangent est perpendiculaire au plan SAB de la figure; d’ailleurs, la droite SG est anti-parallèle à AB, à cause de Fégalité des angles BAS, BSG. Donc le plan tangent SG est parallèle aux plans des sections anti-parallèles à la base AB, et la question se réduit à trouver le centre d’une section quelconque parallèle à ce plan tangent. Nous choisirons celle qui passe par le point de concours T des tangentes en A et en B au cercle ASB, c’est-à-dire parle sommet T du cône qui est circonscrit à la sphère suivant le cercle AB. En menant par le point T

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

la parallèle CTD à SG, on aura le diamètre de cette section. Or il est aisé de voir que le point T en est précisément le centre, c’est-à-dire que le

Fig. 483.

point T est le milieu de CD. En effet, l’angle TBD, égal à SBK, a pour mesure la moitié de l’arc SIB ; l’angle TDB, alterne-interne de BSG, a la môme mesure ; donc le triangle TBD est isocèle et l’on a TD = TB. On voit pareillement que TC = TA ; par suite, comme TA = TB (158), on a TC — TD. Ainsi, le lieu des centres des sections anti-parallèles ci la base AB est la droite ST, qui joint le sommet S au sommet T d’un cône auxiliaire circonscrit , suivant le cci'cle AB, à la. sphère déterminée par ce cercle et par le sommet S du cône primitij.

THÉORÈME

881. Le lieu des tangentes, menées par un point d'une surface aux diverses courbes que l'on peut tracer par ce point sur la surface, est un plan.

Soient M le point donné, AMA'une section plane passant par ce point, et BB', CC',. . . des sections voisines faites par des plans parallèles au premier (Jîg. 484). Si l’on prend sur ces courbes les points P, Q,. . ., où la tangente est parallèle à MT, on obtiendra une courbe continue MPQ,. . située sur la surface. Soit MU la tangente à cette courbe au point M;tout se réduit à prouver que le plan TMU renferme la tangente MV à une courbe quelconque MG tracée par M sur la surface.

Or, soit M' le point où la courbe MG rencontre la section BPB'; menons les cordes MP, MM', et projetons, parallèlement à MP, sur le plan de la première section AMA', la section BPB'; la courbe MM, B, ainsi obtenue sera tangente en M à MT. En effet, la tangente à la projection MM, B, doit être la projection de la tangente PS à la courbe de l’espace BPB' (874), et la projection de PS, parallèlement à MP, est précisé-