LIVRE VII

OM, et cette tangente MT est perpendiculaire au plan méridien ZOM, comme étant à angle droit sur les deux droites OM et OZ de ce plan.

Corollaires.

888. La normale MS à la surface au point M est contenue dans le plan méridien ZOM (882). Le point S, où elle rencontre l’axe ZZ,, est d’ailleurs le môme pour toutes les normales qui répondent aux divers points d’un même parallèle ; d’où l’on conclut que les normales menées à une surface de révolution par les divers points d’un parallèle forment un cône de révolution qui a son sommet S sur l’axe de la sur] ace. Les tangentes aux différents méridiens en des points situés sur une même parallèle joi'ment aussi un cône de révolution qui est circonscrit à la surface et qui a son sommet S, sur l'axe de cette surface. L’angle S, MS, qui mesure l’angle des plans tangents aux deux cônes au point M, est droit; les deux cônes sont donc orthogonaux.

889. Quatre plans tangents à une surface gauche , menés par une même génératrice, ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs quatre points de contact.

En effet, soient G une génératrice d’une surface gauche (884), et A, B, C, D les plans qui touchent cette surface respectivement aux points a , b , c , d de cette génératrice. Considérons quatre courbes fixes au, 6(3, c 7, do, tracées à volonté sur la surface et passant respectivement par les points a, b, c, d-, désignons par a1, b', c ', d! les points où ces courbes rencontrent une génératrice G' voisine de la génératrice G, et menons les cordes aa! , bb' , cc', dd' . Le faisceau des quatre plans G aa', G bb' , Gcc', Gdd', étant coupé par la transversale G' aux points a', b', c ', d', le rapport anharmonique de ces quatre points est égal à celui des quatre plans. Cette propriété ayant lieu, quelle que soit la position de G' sur la surface, subsiste quand G' vient se confondre avec G; mais alors les points a', b', c' , d' se confondent avec a, b, c, d, et les plans G aa', G bb' , Gcc', Gdd ' deviennent les plans tangents A, B, C, D, puisque les cordes aa', bb' , cc' , dd! ont pour limites les tangentes en a, b, c, d , aux courbes au, 6(3, c 7, cl§. Donc le rapport anharmonique des quatre plans tangents A, B, C, D est égal à celui de leurs points de contact a, b, c , d.

Corollaires.