LIVRE VII
LES CORrS RONDS.
Soient maintenant (fig. 486) la ligne brisée plane quelconque MNPQR tournant autour de l’axe xy. Soient a , ô, c, . . . les longueurs des côtés
Fig. 486.
de cette ligne; a, (3, y, ... les distances des milieux A, B, C. ... de ses côtés à l’axe xy. L’aire totale S, engendrée par la ligne brisée MNPQR, étant la somme des aires engendrées par ses côtés MN, NP, . . , , on aura (761)
S ~ <7.277X l) . ‘1 ttS C.ITTy '1<7 (a OC. H- Ô6 H- cy -f- . . . ; .
Si l’on désigne par z la distance à l’axe xy du centre des distances proportionnelles des points A, B, C, . . . , on a (710)
«a -f- b p -t~ c y -h ... = 3(fl + /;+c + . . . ) ;
d’où
S == ( Cl H— b — 1— C -+* . . . ) . 2 7T Z , expression de l’énoncé.
Corollaires.
894. Le théorème subsiste, quels que soient le nombre et la grandeur des côtés de la ligne brisée, c’est-à-dire à la limite, quand il s’agit d’une ligne courbe en tout ou en partie. Le centre de gravité de la ligne obtenue est alors la position limite du centre de gravité de la ligne polygonale. Par suite, l’aire engendrée par une ligne courbe plane tournant autour d’un axe extérieur quelconque situé dans son plan a pour mesure le produit de sa longueur par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Applications.
89d. i° Quelle est l’expression de l'aire engendrée par une circonférence clc rayon r, en tournant autour d’une droite xy de son plan qui ne la coupe pas ?
Soit cl la distance du centre de cette circonférence à l’axe xy; le centre d’une circonférence est évidemment son centre de gravité, car, dans la
GÉOMÉTRIE DANS i/ESPACE.
recherche du centre des moyennes distances, on peut remplacer plusieurs points par leur centre particulier (713), et le centre qui correspond aux extrémités d’un diamètre quelconque est le centre de la circonférence. L’aire de la surface engendrée, qu’on appelle tore , sera donc
‘l'Kr.nzd— 4 T^rd.
2° Trouver la position du centre cle gravité d'une demi-circonférence de rayon r.
Soit x la distance du point cherché au diamètre qui termine la demicirconférence. Si on la fait tourner autour de ce diamètre, elle engendrera une surface sphérique de rayon r. On devra donc avoir (842)
Tzr.iizx ou ndrx — 47t/’2, d’où x = --°
TT
Le centre de gravité cherché étant d’ailleurs, d’après une remarque précédente, situé sur le rayon perpendiculaire à l’axe, sa position est parfaitement déterminée.
THÉORÈME
896. Le volume engendré par un triangle tournant autour cl un axe extérieur situé dans son plan, a pour mesure le produit de l'aire du triangle par la circonférence cjue décrit son centre de gravité.
Nous distinguons trois cas :
i° L’un des côtés du triangle se confond avec l’axe [fg. 487).
Le volume engendré par le triangle ABC tournant autour de l’axe xy a pour expression (855, i°)
^ 7T. ADLBC,
c’est-à-dire, en désignant par S l’aire du triangle dont le double est représenté par AD.BC,
Itt.AD.S.
LES CORPS RONDS
