LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. ?.3c

gone ABLDE des angles triedres égaux a A, en employant des pentagones réguliers égaux à ce pentagone et disposés comme l’indique la figure. Lo pentagone ABCDE est commun à tous les angles trièdres : le deuxième, le troisième et le quatrième trièdre nécessitent l’addition d’un nouveau pentagone; le dernier angle trièdre en E se trouve tout construit.

Fig. 495.

On obtient ainsi un assemblage de six pentagones réguliers égaux et également inclinés. Cet assemblage constitue une surface polyédrale ouverte, moitié du dodécaèdre , et les sommets du décagone gauche ( 1 ) FGHIKLMNPR qui la termine correspondent successivement à un et 'a deux pentagones. D’ailleurs les angles de ce décagone sont égaux entre eux ; en effet, les deux angles trièdres en A et en F sont égaux comme ayant un dièdre égal compris entre deux faces égales entre elles et chacune à chacune. L’angle RFG est donc égal à l’angle EAB et, par suite, à l’angle FGH. On peut alors faire tourner le polygone FGHIKLMNPR sur lui-même, en faisant passer le sommet F en G, le sommet G en H, etc., sans qu’il cesse de coïncider avec sa première position. .

Si l’on construit de la même manière la seconde moitié du dodécaèdre et si on la retourne pour l’opposer à la première moitié, on pourra, d’après cela, rapprocher les deux calottes polyédrales et appliquer l’un sur (*)

(*) Ce décagone est gauche ; car si les quatre points R, F, G, H étaient dans un même plan, ce plan contenant aussi le point A, il n’y aurait plus d’anglo trièdre en A.

l’autre les polygones qui les terminent, en établissant la coïncidence des sommets du premier où il n’y a qu’«/? pentagone et des sommets du second qui en réunissent deux. Gomme les plans de ces pentagones ont déjà entre eux l’inclinaison nécessaire pour composer un angle trièdre égal à l’angle A, l’ensemble obtenu sera bien un dodécaèdre régulier compris sous douze pentagones réguliers égaux formant vingt angles trièdres égaux.

Icosaèdre régulier.

Prenons [fg. 496) un pentagone régulier ABCDE de côté a. Élevons en

Fig. 496.

son centre O une perpendiculaire et, dans le plan déterminé parle rayon OA et cette perpendiculaire, décrivons du point A comme centre, avec a