LIVRE VII. — LES COUPS RONDS

pour rayon, un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire au point S ;

car a est plus grand que OA = a K / — Les arêtes SA, SB, , SE

seront égales entre elles et à a. Par suite, la surface latérale de la pyramide pentagonale SABCDE sera formée de cinq triangles équilatéraux égaux entre eux et également inclinés, puisque les angles trièdres isocèles en A, B, . ., E sont égaux entre eux comme ayant leurs trois faces égales chacune à chacune.

Cela posé, en chacun des sommets A et B du triangle SAB, plaçons (comme l’indique la seconde figure) le sommet d’une pyramide identique à la première SABCDE, de manière que les deux nouvelles pyramides ABSEFG, BASCIÎG aient respectivement avec la première les faces communes ASB et ASE, BAS et BSC, et entre elles les faces communes ASB et ABG. Nous aurons ainsi un assemblage de dix triangles équilatéraux égaux et également inclinés.

Cet assemblage forme une surface polyédrale ouverte, moitié de i’icosaèdre, et les sommets de l’hexagone gauche (') CDEFGH qui la termine réunissent successivement deux et trois triangles. D'ailleurs, les angles de cet hexagone sont égaux : l’angle DEF, par exemple, est égal à l’angle EFG, car tous deux sont évidemment égaux à l’angle EAG. On peut donc faire tourner le polygone CDEFGH sur lui-même, en faisant passer le sommet C en H, le sommet H en G, etc., sans qu’il cesse de coïncider avec sa première position.

Si l’on construit de la même manière la seconde moitié de l’icosaèdre et si on la retourne pour l’opposera la première moitié, on pourra donc rapprocher les deux calottes polyédrales et appliquer l’un sur l’autre les polygones qui les limitent, en faisant correspondre les sommets de l’un qui réunissent trois triangles aux sommets de l’autre qui en réunissent deux. Comme les plans de ces triangles ont déjà entre eux l’inclinaison nécessaire pour constituer alors en chaque sommet un angle polyèdre égal à l’angle S, l’ensemble obtenu sera bien un icosaèdre régulier compris sous vingt triangles équilatéraux égaux, formant douze angles pentaèdres égaux.

SCOLIE