En ayant recours aux formules S

— et A = — du n° G9o, ni 2

on

O Le contour CDEFGH est gauche; car si les quatre points C, D, Ë, F étaient dans un même plan, les deux pentagones ABCDE, BSEFG, qui ont déjà dans le plan CDE les sommets B et E communs, seraient tous deux dans ce même plan, qui contiendrait le point A en même temps que les points B, E, F; ce qui est impossible, d’après ce qui précède.

K. et de C. — Tr. de Géom, (11° Partie). iG

GÉOMÉTRIE DANS i/ESPACE.

forme facilement le tableau suivant, qui renferme les nombres des éléments des cinq polyèdres réguliers convexes, dont nous connaissons les nombres de faces :

Tétraèdre régulier. . .

Hexaèdre régulier...

Octaèdre régulier. . .

Dodécaèdre régulier.

Icosaèdre régulier...

Le nombre des faces de l’hexaèdre et le nombre de côtés de ses faces sont respectivement égaux au nombre des sommets de l’octaèdre et au nombre d’arêtes de ses angles polyèdres. Il en est de même réciproquement pour l’octaèdre comparé a l’hexaèdre ; le nombre d’arêtes reste le même de part et d’autre. Les mêmes conditions sont remplies par le dodécaèdre et l’icosaèdre. On peut donc regarder les polyèdres réguliers co vexes comme conjugués deux àdeux ; car le tétraèdre régulier, ayant autant de faces que de sommets, est conjugué à lui-même.

908. Tout polyèdre régulier convexe est inscriptible et circonscriptible à la sphère.

Soient [fig. 497) dans le polyèdre régulier considéré deux faces adjacentes ABCDE, ABC/D'E', dont O et O' sont les centres.

Les perpendiculaires OK et O'K au côté commun AB se couperont en un même point K ; les perpendiculaires OS et O' S aux deux faces ABCDE,