Trouver T espèce d'un polyèdre régulier

La relation d’Euler

> démontrée au n° G88, ne s’applique pas seulement aux polyèdres convexes; elle subsiste sans modification pour tout polyèdre jouissant de cette propriété qu’il existe, dans leur intérieur, un point tel que chaque i demi-droite issue de ce point rencontre la surface en un point, mais en un seul. C’est ce que montre clairement la démonstration suivante que l’on peut substituer à celle du iv° 688.

Imaginons une sphère ayant pour centre le point en question et, en considérant ce point comme centre de projection, projetons le polyèdre sur la sphère. A chaque face du polyèdre répondra un polygone sphérique ayant le même nombre n de côtés et dont l’aire aura (850) pour expression .y — in h- 4, s désignant la somme des angles de ce polygone sphérique. La somme des aires de tous les polygones sphériques ainsi formés, c’est-à-dire l’aire de la sphère, sera donc représentée par 1s — i^n -+- 4F et, comme dans le système d’unités adopté (813) l’aire de la sphère est égale à 8, on aura la relation

(•2) 2.? - iln + 4F = 8.

Or, d’une part, la somme des angles sphériques autour de la projection de chaque sommet du polyèdre étant égale à 4, on a 2s = 4 S. D’autre

GÉOMÉTRIE U AXS L’ESPACE.

part, la projection de chaque arête du polyèdre formant un côté appartenant à deux polygones sphériques, on a l/i = 2 A. La relation (2) devient donc 4S — 4AH-4F — 8, c’est-à-dire la relation (1).

Cette démonstration offre d’ailleurs l’avantage de montrer la route à suivre pour modifier la formule d’Euler de manière à la rendre applicable aux polyèdres réguliers étoilés. 11 faut alors tenir compte à la fois de l’espèce du polyèdre considéré (918), de l’espèce de ses faces (915) supposées toutes de même espèce, et de celle de ses angles polyèdres (916) supposés tous de même espèce. A cet effet, projetons le polyèdre donné sur la sphère inscrite ou circonscrite, en prenant pour centre de projection le centre de cette sphère (917).

Soient n le nombre des côtés de l’une des faces du polyèdre, cp le nombre qui en marque l’espèce, ci l’aire sphérique que sa projection recouvre (917), y la somme des angles de ce polygone sphérique. Décomposons-le en triangles en joignant à ses sommets, par des arcs de grands cercles, la projection du centre de la face considérée. L’aire de l’un de ces triangles, ayant a pour somme de ses angles, sera, en prenant pour unités l’angle droit et le triangle trirectangle (847), a — 2. L’aire a qui contient n de ces triangles, sera a — la — 2 n. Or 2a, c’est la somme des angles des 11 triangles ou la somme y des angles du polygone augmentée de la somme des angles au sommet de ces mêmes triangles, somme qui est égale à 4f> puisque l’espèce de la face projetée est y (916). Il vient donc

Soit E l’espèce du polyèdre ou le nombre exact de fois que sa projection recouvre la sphère dont l’aire est ici représentée par 8 (813); nous aurons F« = 8E en désignant par F le nombre des faces.

O11 a d’ailleurs F// = 2A. A étant le nombre des arêtes du polyèdre. Quant à Fx, elle représente la somma des angles de tous les polygones sphériques obtenus. Mais la somme des angles réunis autour de chacun de leurs sommets, projection de toutes les faces de l’angle polyèdre correspondant vaut cr fois quatre angles droits, a marquant l’espèce des angles polyèdres (916). On aura donc, s’il y a S sommets,

Fx = 4 g- S,

et en substituant les valeurs de a, n , y dans la relation ci-dessus, il vient (I) A + 2E = y.E + c.S.

Si l’on fait dans cette formule E = <p = o- = i,on retrouve la formule d’Euler. Au lieu de la formule que nous venons d’obtenir, Poinsot (Mémoire cité) trouve

parce qu’il ne tient pas compte de l’espèce de la face du polyèdre.

LES COUPS RONDS

LIVUE Vif. —

024. Dodécaèdre régulier de septième espèce (Poinsot, quatrième espèce).

On l’obtient à l’aide de pentagones étoilés ou de seconde espèce, formant des angles trièdres de première espèce autour de chaque sommet d’un dodécaèdre régulier ordinaire (922). Ce nouveau polyèdre ( fig . 5oo)

Fijj. 5oo.

a donc vingt sommets (907). En désignant par m le nombre des arêtes d’un de ses angles polyèdres et par n le nombre des côtés d’une de ses faces, on a (695)

2À = ///S et 2A = /?F; d’où l’on déduit (en faisant S = 20, ni = 3, n = 5)

A = 3o et F = 12.

La formule (I) donne ensuite, en faisant <7 = 1, çp = 2, A = 3o, F = 12, S = 20,

2E = 24-r-20 — 3o OU E — 7.

Ce nouveau dodécaèdre est donc de septième espèce.