LIVRE VIT

LES CORPS RONDS

suite, le point ni est dans le plan déterminé par le point a' et la droite A. Tout plan passant par le centre d’homologie est son propre homologue. Si un plan est parallèle au plan d’homologie, il en est de même de son homologue ; par suite, si une figure F est située dans un plan parallèle au plan d'homologie, la figure homologue F' est semblable à la première.

940. Dans deux figures homologiques, le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues.

Il en est de même pour un faisceau plan de quatre droites et pour le faisceau correspondant ; pour le faisceau de quatre plans passant par une même droite et pour le faisceau formé par les plans homologues.

Le premier principe est évident, d’après la remarque faite en tête du numéro qui précède; les deux autres s’en déduisent immédiatement.

941. Lorsqu'un point ni de la figure F' est à l’infini, l’égalité

(0[xn/m'} = l

se réduit à

mO * - = >.

sp.

Donc tous les points à l’infini de la figure F' ont leurs homologues situés dans un plan U parallèle au plan d’homologie; ce plan est dit le plan limite de la figure F.

On est ainsi conduit à généraliser la notion acquise au n° 588, sur les points à l’infini dans un plan. Puisque tous les points à l’infini dans l’espace ont leurs homologues situés dans un plan, et que la figure homologue d’un plan est un plan, on doit considérer tous les points à V infini dans i espace comme étant situés dans un meme plan qu’on nomme plan a i infini ; ce plan contient les droites à l’infini de tous les plans de l’espace.

Mais revenons aux figures homologiques. La figure F' a aussi son plan limite V' qui répond aux points à l’infini de la figure F ; et l’on voit, comme au n° 732, que le rapport des distances du plan limite U au centre O et au

plan Q d’homologie est égal à X, tandis que ce rapport est égal à l pour

le plan limite Y'.

Étant donnés une figure F, son plan limite U, ainsi que le centre O et le plan Q d’homologie, on obtient l’homologue ni d’un point quelconques de la figure F de la manière suivante : p et q étant les points où une droite menée par ni rencontre les plans U et Q, on mène par le point q la parallèle au rayon O p, et l’on prend l’intersection ni de cette droite (homologue de pmq ) avec le rayon Os.

GÉOMÉTRIE DANS i/ESPACE.

912. Pour \ = — 1, l’homologie est ditç harmonique ; les deux plans limites se confondent avec le plan qui est équidistant du centre et du plan d’homologie.

Quand le plan d’homologie est à l'infini, l’homologie devient homoihétie. Si, de plus, l’homologie est alors harmonique, on est ramené à la symétrie par rapport à un centre.

Lorsque le centre d’homologie est à l’infini, l’homologie devient affinité ; la seconde figure se déduit de la première en dilatant dans un rapport constant ses ordonnées normales ou obliques par rapport au plan d’homologie. Si, de plus, l’homologie est alors harmonique, on est ramené à la symétrie (normale ou oblique) par rapport a un plan.

943. Nous montrerons plus tard les ressources qu’offre à la Géométrie pure la transformation homologique. Nous nous bornerons à signaler ici une des plus intéressantes applications pratiques de cette théorie; nous voulons parler de la construction des bas-reliefs, c’est-à-dire de ces figures qui forment une faible saillie sur le mur d’un édifice et à l’aide desquelles on représente un sujet ou une scène quelconque. Le basrelief F et la scène F' qu’il représente sont deux figures homologiques. Soit O l’œil du spectateur qui est en avant du mur, tandis que la figure F' est supposée en arrière; désignons par a' le point de F' qui est le plus voisin du mur, et par P' le plan mené parallèlement au mur par le point le plus éloigné. On prend le point O pour centre d’homologie, le plan P du mur pour plan homologue de P', et l’on se donne à volonté, un peu en avant du mur, le point a qu’on veut faire correspondre au point a' et qui sera le point le plus saillant du bas-relief. Ces données, c’est-à-dire le centre d’homologie O, un couple (<7, a') de points homologues et un couple (P, P') de plans homologues, suffisent évidemment pour déterminer la figure F homologue de F', né étant un point quelconque de F', on prend l’intersection 1/ de la droite a' né e t du plan P'; le rayon 06' donne, par sa rencontre avec le plan P, l’homologue b de lé ; par suite, l’intersection m de ab et du rayon Ow'est le point m du bas-relief qui répond au point né de la figure à représenter. On pourrait aussi commencer par déterminer, à l’aide de ces données, le plan d’homologie, et opérer ensuite à l’aide du plan et du centre d’homologie, et du couple (a} a').