I.ÎVRK VU. — LES CORPS RONDS

la sécante tourne autour du point 0, est un plan P perpendiculaire au diamètre AB qui passe par le point 0 ; car, dans chaque plan mené par OC, le lieu est une droite ( 340) perpendiculaire au diamètre AB et menée par le point H, conjugué harmonique de O par rapport à ce diamètre.

On dit que le point O est le pôle du plan P, et que le plan P est le plan polaire du point O par rapport à la sphère C.

Le plan polaire P d’un point O est évidemment le lieu des polaires du point O par l'apport à tous les cercles de la sphère dont les plans p as sent par O.

Le rayon de la sphère est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle et au plan polaire. La discussion des positions du pôle et du plan polaire par rapport à la sphère est la même qu’au n° 341. Nous remarquerons seulement que, lorsque le pôle est extérieur à la sphère, le plan polaire est le plan de la circonférence de contact du cône qui est circonscrit à la sphère et qui a le pôle pour sommet.

943. Les plans polaires de tous les points d’un plan passent par le pôle de ce plan; et inversement, les pôles de tous les plans qui passent par un même point sont sur le plan polaire de ce point. La démonstration du n° 342 subsiste ; seulement, XY [fîg. 218) représente alors la projection, sur le plan considéré, de la droite CO qui joint un point quelconque Ode ce plan au centre C de la sphère.

Il résulte de là que, si chacun des points d’un plan P est pris pour sommet d’un cône circonscrit à la sphère, les plans des cercles de contact passent tous par un même point p, pôle du plan P ; inversement, si, suivant chacun des cercles de la sphère dont les plans passent par un même point p, on circonscrit un cône à la sphère , les sommets de ces cônes sont tous dans un même plan P, qui est le plan polaire du point p.

94C. Soient une sphère dont le centre est O et une droite quelconque

AB ( fîg. 5o4). Prenons le pôle A' de AB par rapport au grand cercle

GÉOMÉTRIE DANS l/ ESPACE.

ECFD situé dans le plan AOB, et par le point A' élevons la perpendiculaire A'B' à ce plan AOB ; on voit que, réciproquement, la droite AB est la perpendiculaire au plan O À' B' élevée par le pôle A de A'B' par rapport au grand cercle EIFK situé dans le plan O A'B'. Les deux droites AB, A'B' ont reçu, d’après cela, le nom de droites réciproques par rapport à la sphère O.

Quand deux droites sont réciproques par rapport à une sphère , chacune d’elles est le lieu des pôles de tous les plans passant par l’autre ; ou, ce qui revient au même, chacune d’elles est V intersection commune des plans polaires des divers points de l’autre. En effet, le plan polaire d’un point quelconque M de AB est perpendiculaire au plan FCE, et sa trace sur ce plan est la polaire du point M par rapport au cercle FCE. Cette trace passe donc (342) par le point A' qui est le pôle de AB par rapport au cercle FCE. Par suite, le plan polaire CID du point M renferme la droite A'B'.

Il résulte de là que, lorsque deux plans sont tangents à la sphère, leur intersection est réciproque de la droite qui unit les deux points de contact, car ces points de contact sont les pôles des plans tangents.

Remarquons enfin que la droite AB est le lieu des pôles de sa réciproque A'B' par rapport à tous les cercles de la sphère dont les plans passent parAlïï. En effet, A' étant le pôle de la droite AB par rapport au cercle FTE, si N est le point où la droite AB rencontre le diamètre CD d’un cercle quelconque CID conduit par A'B', les points C, A', D, N forment un système harmonique; donc N est le pôle de A'B' par rapport au cercle CID.