LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

948- Le lieu des points d’égale puissance par rapport à deux sphères est un plan perpendiculaire à la ligne des centres (373).

Ce plan a reçu le nom de plan radical des deux sphères. — Lorsque deux sphères se coupent, leur plan radical est le plan du cercle commun ; lorsque deux sphères se touchent, leur plan radical est le plan tangent au point commun. — Le plan radical de deux sphères concentriques disparait à l’infini.

Le plan radical de deux sphères est le lieu des points cl’où l’on peut leur mener des tangentes égales (374). C’est aussi le lieu clés centres des sphères qui coupent les deux premières orthogonalement (383).

949. Les plans radicaux de trois sphères considérées deux à deux passent par une meme droite (376). Cette droite est la perpendiculaire au plan des centres des trois sphères, élevée par le centre radical des trois grands cercles contenus dans ce plan ; elle a reçu le nom d 'axe radical des trois sphères.

Lorsque les centres des trois sphères sont en ligne droite, l’axe radical se transporte à l’infini : il peut cependant arriver que les trois plans radicaux coïncident, auquel cas les trois sphères ont un plan radical au lieu d’un axe radical.

930. Enfin, les six plans radicaux de quatre sphères considérées deux à deux passent par un même point. Car le point où l’axe radical des trois premières sphères rencontre le plan radical de l’une de ces sphères et de la quatrième est d’égale puissance par rapport aux quatre sphères; il est donc commun aux six plans radicaux des sphères considérées deux à deux, et aussi aux quatre axes radicaux des sphères considérées trois à trois.

Ce point est dit le centre radical des quatre sphères. Il est unique, à moins que les centres des quatre sphères ne soient dans un même plan ; dans ce cas, il peut arriver que le centre radical disparaisse à l’infini, ou bien qu’il soit remplacé par un axe radical, ou même par un plan radical si les centres des quatre sphères sont en ligne droite.

931 . Les propriétés relatives aux points antihomologues ainsi que leurs démonstrations subsistent pour les sphères :

i° Le produit des distances de l’un quelconque des deux centres de sim ilitude de deux sphères à deux points antihomologues est constant ; deux couples de points antihomologues sont sur une meme circonférence, et deux cordes antihomologues se coupent sur le plan radical des deux sphères (378);

20 Quand deux sphères sont touchées par une troisième , la droite qui joint les points de contact passe par un centre de similitude de ces

deux sphères , et la réciproque de cette droite par rapport à la troisième sphère est située dans le plan radical des deux premières. Inversement, si la droite ah qui joint deux points respectifs a et h de deux sphères (A) et (B) passe par un centre de similitude de ces deux sphères , la sphère (u>) qui touche {A.) en a et qui passe par le point b touche (B) en b. Et encore, si la droite ab qui joint deux points respectifs a et b de deux sphères est telle que V intersection des plans tangents en a et b à ces sphères appartienne à leur plan radical , la sphère («) qui touche (A.) en a et qui passe par b touche (B) en b (379).

3° Si deux sphères (A) et (B) sont touchées respectivement en a et b jiar une sphère (w) et en a! et b' par une sphère (w' ), de façon que les contacts en b et b' soient semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en a et ar, le point de concours de deux côtés opposés quelconques du quadrilatère ab a' b' est à la fois un centre de similitude des deux sphères dont ces côtés sont des cordes et un point du plan radical des deux autres sphères (380).