THÉORÈME DE DEPUIS

961. Conservons les notations du numéro précédent et supposons que, les trois sphères Si, S2, S3 restant fixes, la sphère S4 varie. Le point O, centre radical des quatre sphères, décrira l’axe radical II des sphères fixes Si, S-2, S3. Supposons, par exemple, que Pi soit le plan de similitude directe des quatre sphères, et soit D l’axe de similitude directe des sphères Si, S2, S3; la droite D étant contenue dans le plan Pi et restant fixe avec St, S2, S3, le plan Pi tournera autour de D et, par suite, son pôle pi par rapport à St décrira la droite o réciproque de D par rapport à Si ; or la droite § est perpendiculaire au plan des centres .vi, ^2, s2. Donc la droite variable Op\ s’appuiera constamment sur deux droites fixes II et c? perpendiculaires au plan .<“it2v3; le point de contact cii de X et de St étant situé sur Opi, ne'sortira pas alors du plan II. et de C. — TV. de Géom. (II" Partie). l8

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

des parallèles II et ^ ; le lieu de ce point ax est donc le cercle suivant lequel le plan de II et de § coupe la sphère Sj.

De là, ce théorème dû à Dupuis :

Oua/ul une sphère variable X touche constamment de la meme manière trois sphères fixes Si, S2, S3, chacun des trois points de contact «il <72, <?3 décrit un petit cercle sur la sphère fixe correspondante .

Les auteurs qui se sont occupés du problème relatif à la sphère tangente à quatre sphères données (Gaultier de Tours, Jour/ml de l'École Polytechnique , t. IX; IIeegmann, Mémoires de V Académie de Lille, i8‘23; J. -A. Serret, Journal de Crelle , t. XXXVIJ, et Nouvelles Annales) ont fondé leur démonstration sur le théorème de Dupuis. Au lieu de suivre cette marche, qui rompt l’analogie avec la Géométrie plane, nous avons tenu à conserver cette analogie, et l’on peut voir que le raisonnement employé au n° 9G0 11’est que l’extension naturelle de celui déjà fait au n° 400. Le théorème de Dupuis n’en est alors qu’un corollaire immédiat, comme nous venons de le voir. On peut toutefois en désirer une démonstration directe. Une des plus simples repose sur la remarque du n° 959 :

Considérons la figure formée par les trois sphères fixes S1} S2, S3, la sphère variable X qui les touche ; transformons cette figure de façon que Si, S„ S3 deviennent trois sphères 2l5 22, S3 ayant leurs centres cq, <r2, oq en ligne droite. La transformée £ de X touchera sq, 22, 23 et le lieu de son point de contact avec l’une quelconque de ces sphères sera évidemment un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite <t3. Donc, en revenant à la figure primitive et se rappelant que la transformée d’un cercle est un cercle, on voit que le point do contact de la sphciv. variable X décrit un cercle sur chacune des sphères fixes S1; S2, S... (Mannheim, Nouvelles Annales, ire série, tome XIX.)