I.IVRE VII. — LES CORPS RONDS

Les coordonnées tétraédriques d’un point quelconque M de l'espace satisfont à la relation

( 1 ) s , :r, -h s,x2 -h s3x3 sixi = 3 p,

p étant le volume du tétraèdre.

En effet, les plans des faces du tétraèdre indéfiniment prolongés partagent l’espace en quinze régions; ce sont {fi g. 5o5) :

L’espace A,A2A3A4 occupé par le tétraèdre;

Le trièdre A,a2a3a4, opposé par le sommet au trièdre A, du tétraèdre; il y a quatre trièdres de ce genre, un relatif à chaque sommet;

Le tronc de pyramide indéfini A2A3A,ia2a3av qu’on obtient en retranchant du trièdre A, l’espace occupé par le tétraèdre ; il y a quatre troncs de ce genre, un relatif à chaque face ;

Fig. 5of>.

Le comble A1A2a'3a3a4a4 qui a pour faite l’arête A,A2 et pour arêtes les prolongements A,a3, A,a4, des arêtes qui aboutissent en A, et les prolongements A2a3, A2«4 , des arêtes qui aboutissent en A2; il y a six combles de ce genre, un relatif à chaque arête.

Cela posé, si le point M est situé dans l'intérieur du tétraèdre, les

quantités x2, x3, xa sont positives; les expressions 4 ç2 r2,

^ si xv | représentent les volumes des pyramides triangulaires

qui ont M pour sommet et, pour bases, les faces s{) s2) s31 .?4; et, comme la somme des volumes de ces pyramides est égale au volume du tétraèdre, lu lelation (i) est démontrée pour ce cas.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Si le point M est dans le trièdre A,a2a3a4, les hauteurs des pyramides qui ont pour bases sn s,, sA, sv et pour sommet le point M, sont respectivement égales à .r,, — x2, — .r3, — xv et, comme le tétraèdre équivaut à la pyramide ayant pour base st, diminuée de la somme des pyramides ayant pour bases s2,svsv on a

c'est-à-dire encore la relation (1).

On voit de même que, suivant que le point M est situé dans le tronc A,A3A4 <72<73cq ou dans le comble (A,A,), on a

— b ( — -r, ) -+- stx3 -h .s3.r3 -+- s, xt = 3 v ou

SXXi ‘V2‘r2 - *3 ( — Xz) ~ s\ ( - ^4 ) = 3 C,

c’est-à-dire toujours la relation (1), qui se trouve ainsi établie pour tous les cas.

Réciproquement, si quatre quantités x0x2,xz, x 4, satisfont à la relation (1), il existe un point de l'espace et un seul dont ces quantités sont les coordonnées tétraédriques .

En effet, menons un plan Qk parallèle au plan de la face sk, à une distance de celui-ci égale à la valeur absolue de xk , et du même côté du plan sk que le sommet A* ou du côté opposé, suivant que xk est positif ou négatif; nous obtiendrons ainsi quatre plans Q,, Q2, Q3,Q4, bien déterminés. Trois quelconques d’entre eux, Q2,Q3, Q4, se coupent en un point unique p dont nous désignerons les coordonnées tétraédriques par £2, £,, D'après la construction du point M, on a

H — oc t — oc E = oc *

d’ailleurs, le point y. est le seul point de l’espace dont les trois coordonnées d’indices 2, 3, 4 soient respectivement égales à/2,^,x(. U reste donc seulement à prouver que Ç, est égal à xr Or on a, par le théorème direct,

c’est-à-dire, à cause des relations précédentes,

>çi -+- -'Vr2 Vr;S •''< ^4 = 3 u,

cl la comparaison de cette relation avec la relation (1), qui, par hypothèse, est ici satisfaite, donne E, = xr

963. Abordons maintenant le problème de la sphère tangente à quatre plans que nous supposerons former un tétraèdre.

LES COUPS RONDS