LIVRE VII

Pour qu’il existe une sphère inscrite dans le tétraèdre, il faut et il suffit qu’on puisse satisfaire à la relation (1) en prenant

p désignant le nombre fini et positif qui mesure le rayon de la sphère. Or, une telle solution est toujours possible et est unique, caria substif ■ lion des valeurs précédentes dans (1) donne

( + sa •+- s3 ■+■ s4 ) p = 3 e,

d’où l’on tire pour p la valeur unique, finie et positive,

Il y a donc une sphère inscrite au tétraèdre et une seule; son rayon est donné par la formule précédente ; d’ailleurs, son centre, étant équidistant des quatre faces, appartient à tous les plans bissecteurs des dièdres intérieurs du tétraèdre, et trois de ces plans, relatifs aux trois arêtes d’une même face, suffisent pour le déterminer.

Pour qu’une sphère tangente eût son centre dans le trièdre A,a2a3a4, il faudrait qu’on pût satisfaire à la relation (1) par les valeurs

*1 = P* x2= — P> xz = — P> x* = — P> p étant fini et positif ; or, la substitution de ces valeurs donne

(•çi — s2~~ ,ç3 — ) P = ^ (>i d’où p = - ,

ce qui est impossible, puisque, une face quelconque d’un tétraèdre étant moindre que la somme des trois autres, le second membre est négatif. Ainsi, il n’y a aucune sphère tangente ayant son centre dans le trièdre considéré ni dans les trois autres trièdres analogues.

Il y a, au contraire, une sphère dans le tronc A2A3À ia2a3ai, car la substitution des valeurs

donne

(-.v, -+-J2-W3-Wjp= 3e, d’où ?=———— ——J

valeur unique, finie et positive, puisque dans un tétraèdre une face quelconque est moindre que la somme des trois autres. Cette sphère est dite exinscrite suivant la face s{ ; son centre est à l’intersection des plans bissecteurs des dièdres extérieurs relatifs aux arêtes de cette face. Il y a de même une sphère exinscrite dans chaque tronc.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Voilà donc cinq sphères, la sphère inscrite et les quatre sphères exinscrites, dont l’existence est certaine. Il reste à examiner ce qui se passe pour les combles.

Pour raisonner d’une manière générale, désignons par Af Àft l’arête relative au comble considéré et par A/' A a- l’arête opposée. Pour qu’il y ait une sphère tangente dans le comble (A.Aft),il faut et il suffit que la substitution des valeurs

xi = P> ** = P , = — P, -V = — P,

dans la relation (1) donne pour p une valeur finie et positive. Or, cetto substitution conduit à

( Si 4- sk - st — skf)p = 3 e, d’où p = ■ P •

si + -h — si — V

Donc, pour qu’il y ait une sphère tangente clans l’un des combles , il faut et il su ffît que la somme si 4- sk des deux faces qui ont pour côté commun ï arête du comble soit supérieure a la somme s/r 4- shj des deux autres faces.

Il suit de là immédiatement que, s’il y a une sphère dans un comble , il n’y en a pas dans le comble opposé , et que, si la somme de deux faces est égale à la somme des deux autres, il n’y a de sphère tangente ni dans le comble qui a pour arête le côté commun aux deux premières faces, ni dans le comble opposé qui a pour arête le côté commun aux deux autres faces.

Donc, enfin, le nombre des sphères tangentes à quatre plans formant un tétraèdre est au moins égal à cinq et au plus égal à huit.

Admettons, ce qui est permis, qu’on ait

et posons

■h -+- ^ — -S — ■<r4 = 7-0 A, 4- S3 — .9, - st = 7 j , St 4- .V, - s3 — s3 = qv L’égalité 7, = o entraîne 7.— o et cp =0; car, si l’on a

o = fh = U — *3) + ( si — s<)= U, - *4) -+- (*\ — s3 ),

c’est que les différences entre parenthèses, qui ne peuvent être négatives, sont nulles; on a donc

et, par suite,

7j — 0 et cp = o.

L’égalité cp — o entraîne q^ — o ; car, si l’on a