LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 2~ÿ

c’esl que les différences entre parenthèses sont milles; on a donc si = r2. ■V3 = v4 et, par suite, <74 = o.

Ces remarques très simples permettent d’achever la discussion.

Si les trois quantités <73 , <74 sont nulles, on a .sq = s2 = t3 = v4, et réciproquement. Donc, pour que le nombre clés sphères soit, égal à 5, il faut et il suffit cpœ le tétraèdre ait toutes ses faces égales entre elles.

Si deux seulement des quantités <72, </3, q 4 sont nulles, c’est qu’on a

c est-a-dire

et réciproquement. Donc, pour que le nombre des sphères soit égal à 6, il faut et il suffit que les faces du tétraèdre soient égales deux à deux sans être toutes égales entre elles.

Si une seule des quantités <7-2? ^3, ^r-, est nulle, c’est qu’on a

q\ = o, q% > o, qz > o,

c’est-à-dire

sl ■+• v4 — ^2 + A3, S1 s2 û Si i> A4,

et réciproquement. Donc, pour que le nombre des sphères soit égal à 7, il faut et il suffit que le tétraèdre ait une face maximum et une face minimum, et que la somme de ces deux faces soit égale à. la somme des deux autres, lesquelles peuvent d’ailleurs être égales entre elles ou inégales.

Enfin, si aucune des trois conditions précédentes n'est réalisée, le nombre des sphères est égcd ci 8.

Nous laissons au lecteur le soin d’examiner les cas où les quatre plans donnés ne forment pas un tétraèdre.