RAPPORT HARMONIQUE

965. Quatre points A, B, C, D, situés sur un arc de grand cercle, forment un système harmonique lorsque le rapport anharmonique (ABCD) est égal à — 1 .

Un faisceau de quatre arcs de grands cercles OA, OB, OC, OD est harmonique, lorsque le rapport anharmonique (O. ABCD) est égal à — 1, c’est-à-dire lorsqu’on peut trouver un arc de grand cercle qui coupe le faisceau suivant un système de quatre points harmoniques ; alors tout autre arc de grand cercle transversal jouira de la même propriété (964).

Il résulte de là que, si par un point G de la surface sphérique on mène, à travers un angle AOB formé par deux arcs de grands cercles, diverses sécantes telles que ACB, et que l’on prenne sur chacune d’elles le point D conjugué harmonique de C par rapport au segment AB intercepté entre les côtés de l’angle, le lieu du point D sera l’arc de grand cercle OD conjugué harmonique de OC par rapport au segment AOB. Le point C et l’arc de grand cercle OD sont dits pôle et polaire par rapport à l’angle AOB.

La proposition (315) relative au quadrilatère complet et la démonstration que nous en avons donnée (337) subsistent pour la sphère; il suffît de remplacer les mots ligne droite par arc de grand cercle. 11 en résulte un moyen simple de tracer sur la sphère : i° le quatrième harmonique de trois points d’un grand cercle: a°la polaire d’un point par rapporta un angle (316 et 337).