LIVRE Vil. — LES CORPS RONDS

E, I', F, O' sera aussi harmonique. Mais le lieu du point I' est une droite Kll située dans le plan AEB et perpendiculaire au diamètre O'BA;

Fig. 5o6.

donc le lieu du point I est l’intersection de la sphère par le plan wKH; c’est donc un grand cercle perpendiculaire au grand cercle OC.

On dit que le point O est le pôle du grand cercle wKH, et que ce grand cercle est la polaire du point O par rapport au cercle AEB.

Le mot pôle a déjà reçu une autre acception, mais il ne pourra jamais y avoir d’ambiguïté si Ton fait la convention suivante : quand nous emploierons le mot pôle dans le nouveau sens que lui attribue le théorème précédent, il sera toujours suivi des mots par rapport au cercle considéré , tandis que, lorsqu’il sera pris dans le sens primitif (944), ce mot ne sera suivi d’aucune indication.

Nous avons étudié avec détail au n° 3 H les positions relatives du point O' et de la droite KII: le lecteur en déduira aisément les positions relatives du point O et du grand cercle tu KII.

Quand le point O' décrit une droite dans le plan AEB, on sait (342) que la droite KH tourne dans ce plan autour du pôle de cette droite; mais alors le point O décrit un grand cercle, et le plan wKH tourne autour du diamètre qui perce la sphère au pôle, par rapport à AEB, du grand cercle décrit par O. Donc, les polaires de tous les points d’un grand cercle passent par le pôle de ce grand cercle par rapport au cercle directeur AEB : et les pôles par rapport au cercle directeur AEB, de tous les grands cercles qui passent par un point de la sphère, sont situés sur le grand cercle polaire de ce point .

Le théorème du n° 3 H, sa démonstration et ses conséquences (343, 346 ) subsistent pour la sphère en remplaçant les droites par des arcs de grand cercle ; il en résulte le moyen de construire sur la sphère la polaire d’un point par rapport à un cercle directeur donné.

Enfin, la méthode do transformation par les polaires réciproques (348

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE.

et suiv.) s’étend aussi aux figures sphériques. Le mode de transformation général par polaires réciproques dans l’espace contient comme cas particulier le mode de transformation spécial que nous avons exposé au n° 808 pour les figures sphériques, et dans lequel on fait correspondre à un triangle un triangle supplémentaire. Soient, en effet, une sphère de rayon R et un point A de l’espace situé à une distance cl du centre w de la sphère; le plan polaire de ce point est un plan perpendiculaire à wA

et situé à une distance de w égale à — • Si le rayon R de la sphère tend R2

vers zéro, — tend aussi vers zéro, et les plans polaires de tous les points

de la droite indéfinie wA ont pour limite le plan unique mené par w perpendiculairement à o) A. On peut, d’après cela, donner à ce plan le nom de plan polaire de la droite wA par rapport à une sphère infiniment petite ayant w pour centre. Cela posé, si l'on a une figure formée de droites et de plans passant tous par un point w, on aura la figure corrélative en menant par w des plans et des droites perpendiculaires aux droites etaux plans de la figure primitive. Sur la sphère, à un grand cercle répondra son pôle, et inversement, de sorte que l’on retombe sur les figures supplémentaires des n°" 81 1 et 812.