AXE RADICAL DE DEUX CERCLES

967. On nomme axe radical de deux petits cercles PetQ tracés sur la

sphère l’arc de grand cercle UV dont le plan passe par l’intersection XY des plans des deux petits cercles P et Q. D'après cela, cet axe radical est perpendiculaire à l’arc de grand cercle PQ qui joint les pôles des deux petits cercles donnés [fg. 507).

Si l'on coupe les deux cercles fixes P et Q par un cercle auxiliaire

uvkk vu. — lcs cours ronds. 2 83

variable qui coupe le premier en A et B, et le second en A' et B', le lieu des points de rencontre M des arcs de grand cercle AB et A' B est Vaxc radical des cercles P et Q. Car les droites AB, A' B'. se coupant évidemment en un point M' de XY, le point M où le rayon wM' perce la sphère appartient à la fois aux trois grands cercles dont les plans passent respectivement par les droites AB, A'B', XY. Cette propriété permet de construire sur la sphère 1 axe radical de deux cercles.

Si le cercle sécant ABA'B' devient un cercle CD tangent en C et D ■■/7o* ^oS), les arcs de grand cercle BAM, B'A'M deviennent des arcs de

Fig. 5o8.

grand cercle tangents MC et MD; ils sont d’ailleurs égaux comme tangentes sphériques menées d’un même point M au cercle auxiliaire CD (832, 820). Donc Vaxe radical UV des deux cercles P et Q est le lieu des deux points de la sphère d’où Von peut leur mener des tangentes sphériques égales.

Le cercle CID, décrit du point M comme pôle, coupe orthogonalement les deux cercles P et Q ; car il est à angle droit sur les arcs de grand cercle MC et MD. Donc Vaxc radical des deux cercles P et Q est sur la sphère le lieu des pôles ou centres sphériques des cercles qui coupent orthogonalement les deux cercles P et Q.

Enfin, le plan du cercle CID est le plan polaire du point M' qui appartient à XY ; car son plan est perpendiculaire à «M', et il contient le point C qui appartient évidemment au plan polaire. D’ailleurs, comme lorsque le cercle orthogonal CID varie, son pôle M' décrit la droite XY, le plan de ce cercle CID passe constamment par la droite réciproque (946) de XY. Donc, lorsque deux systèmes de cercles se coupent orthogonale ment sur la sphère, les plans des cercles de chaque système passent par une droite , et ces deux droites sont réciproques par rapport à la

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

sphère. Inversement, deux séries de plans passant par deux droites réciproques par rapport à une sphère tracent sur cette sphère deux systèmes de cercles orthogonaux (l ). Ajoutons que la droite réciproque de l’intersection des deux cercles P et Q est précisément la droite qui joint les sommets des deux cônes (878, 880) que l’on peut faire passer par ces deux cercles. En effet, prenons pour plan de la figure le grand cercle {fig. 219, p. 344) perpendiculaire aux deux cercles donnés, qui sont alors représentés par les deux droites AA' et PB' ; en joignant AB et A'B', puis AB' et BA', on aura les sommets N et O des deux cônes considérés, et, comme la droite NO est (346) la polaire de l’intersection M des deux droites AA' et BB', la perpendiculaire au plan de la figure élevée par le point M, c’est-à-dire la droite commune auxplans des deux cercles AA' et BB', aura pour réciproque NO (946).

Les axes radicaux de trois cercles d’une sphère considérés deux à deux concourent en un meme point ; car le rayon qui aboutit au sommet du trièdre formé par les plans des trois cercles perce la sphère en un point commun aux trois axes radicaux. Ce point prend le nom de centre radical des trois cercles. C’est le centre sphérique du cercle qui coupe orthogonalement les trois cercles donnés.