LIVRE VII

d’ailleurs sur le grand cercle qui passe par les pôles P et Q des deux cercles donnés.

On dit que deux points M et N, appartenant, l’un au cercle P, l’autre au cercle Q, sont anti-homologues lorsque la droite qui les joint est une génératrice de l’un des deux cônes S et S'. U arc de grand cercle MN passe alors par le centre de similitude O relatif au cône considéré S, car son plan contient les points w et S, et, par suite, le point O de la droite ojS (Jfc.MO).

Deux couples 51 et N, B et D, de points anti-homologues par rapport à un meme cône S appartiennent à un même cercle de la sphère , car ils sont situés dans le plan des génératrices MN et BD du cône. On en conclut (967) que l'arc de grand cercle cjui joint deux points quelconques du cercle P et Parc de grand cercle qui joint les points anti-homologues du cercle Q se coupent sur l'axe radical des cercles P d Q.

Si les deux points considérés sur le cercle P se confondent, les deux propositions qui précèdent deviennent les suivantes : Quand deux cercles P et Q d’une meme sphère sont touchés par un troisième X, les points de contact 51 et N sont anti- homologues et le plan de ce cercle X passe par le sommet S du cône correspondant . Les tangentes sphériques en deux points anti-homologues 51 et N de deux cercles P et Q se coupent sur l’axe radical de ces deux cercles.

Le plan d’un cercle tangent à trois cercles de la sphère est tangent à trois

Fig. 5io.

cônes qui passent par ces cercles pris deux à deux, et réciproquement. Or, trois cercles pris deux à deux forment trois combinaisons, à chacune desquelles répondent deux cônes. Du sommet de l’un des cônes de la première combinaison on peut mener, en général, deux plans tangents à l’un des cônes de la seconde, et ces plans seront tangents non-seulement aux deux cônes, mais encore à un des cônes de la troisième combinaison. Donc l’intersection de ces deux plans passe par les sommets des trois cônes. Nous avons considéré dans ce raisonnement un cône de la première combinaison et un cône de la seconde, ce qui a déterminé le cône

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

de la troisième. Mais on peut associer de quatre manières différentes un cône de la première combinaison et un cône de la seconde. Par suite, les sommets des six cônes sont situés trois à trois sur quatre droites, chaque sommet appartenant à deux droites différentes; donc ces quatre droites se coupent deux à deux et sont toutes situées dans un même plan. Il résulte de là que les six centres de similitude de trois cercles (dune même sphère sont situés t/ois à trois sur quatre grands cercles.

CERCLES ISOGONAUX.

969. Pour que, sur une sphère, un cercle L, qui rencontre un cercle P en un point M et un cercle Q en un point N, coupe ces deux cercles sous des angles égaux ( ou supplémentaires ) , il faut et il suffit cpæ les points M et N soient anti-homologues .

KJ

Remarquons d’abord que, si par deux points appartenant respectivement à deux lignes sphériques on peut mener un cercle qui coupe ces lignes sous des angles égaux, tout’autre cercle passant par les deux points coupera aussi ces lignes sous des angles égaux, car les nouveaux angles différeront respectivement des premiers d’un angle égal à celui des deux cercles. Il suit de là qu’il suffit de démontrer le théorème proposé dans l’hypothèse où le cercle L est un grand cercle. Soit donc ( fig . 5io) MN un grand cercle coupant P et Q sous des angles égaux, et soit X le point d’intersection des rayons sphériques PM, QN. Les angles XMN, XNM étant égaux, le triangle sphérique XMN est isocèle, et, par suite, le cercle décrit de X comme centre sphérique et passant par M passe aussi par N; ce cercle touche d’ailleurs en M et N les cercles P et Q (823); donc les points M et N sont anti-homologues (968). Inversement, soient MN l’arc de grand cercle qui joint deux points anti-homologues des cercles P et Q et X le pôle du petit cercle qui touche (968) P et Q en M et N ; îes grands cercles PX et QX passent respectivement par les points de contact M et N (823) et, dans le triangle sphérique isocèle XMN, il y a égalité entre les angles à la base M et N, et, par suite, entre les angles que MN fait avec P et Q.

On peut encore énoncer ce théorème en disant (968) : Pour que , sur une sphère, un cercle L coupe deux cercles P et Q sous des angles égaux [ou supplémentaires ) , il faut et il suffit que son plan contienne le sommet de l’un des cônes qui passent par P et Q.

Si A, B, G sont trois cercles (dune sphère ayant deux a deux même axe radical (c’est-à-dire dont les plans passent par une même droite K), et si un autre cercle L se déplace sur la sphère en faisant avec A un angle constant a et avec B un angle constant (3, ce cercle mobile fera avec C un angle constant 7. En effet, soient L et L, deux positions du cercle mobile. A coupant L et L, sous le même angle a, son plan passe