PROBLÈMES RELATIFS AU CONTACT DES CERCLES SUR LA SPHERE

970. i° Par deux points donnés A et B, mener un cercle tangent a un grand cercle donné KL ( fig. 1 83 1 ).

La solution est analogue à celle du problème correspondant de Géométrie plane. On joindra A et B par un arc de grand cercle qu’on prolongera jusqu’à sa rencontre C avec KL. L’inconnue de la question est le point T où le cercle demandé touche KL. Or, la longueur CT étant égale à celle de la tangente sphérique menée du point C à un cercle quelconque tracé par A et B sur la sphère, on déterminera cette longueur à l’aide d’un cercle mené à volonté par A et B, puis on la portera sur KL en CT ou CT', ce qui donnera deux solutions.

Par deux points donnés B et C, mener un cercle tangent à un petit cercle donné O {fig. 1 8 3 2 ) -

Le tracé est le même qu’en Géométrie plane. Par B et C, menez un cercle quelconque qui coupe le cercle donné O en deux points D et E, et du point INI, intersection des grands cercles 13C, DE, menez deux arcs de grand cercle tangents au cercle O; A et A' étant les points de contact, il suffira de mener des cercles par B, C, A et par B. C, A', pour avoir les deux solutions du problème.

97 1. Mener un cercle tangent a trois cercles donnes sur la sphère.

Le raisonnement et la construction sont (es mêmes qu’au n° 403; il suffit de remplacer les droites par des arcs de grand cercle ; il y a huit solutions.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

072. Décrire sur une sphère un cercle X qui coupe trois cercles donnés A, B, C, sous des angles donnés cc> (3, y.

Le cercle X, coupant A et B sous des angles constants a et (3, est tangent à deux cercles dont les pôles sont sur le grand cercle qui contient les pôles de A et de B (969 ) . En considérant de même A et C, puis B et C, on voit que le cercle X doit être tangent à six cercles. Il suffira donc, pour le déterminer, de connaître trois de ces six cercles et de leur appliquer le problème précédent. Voici comment on obtient l’un des six cercles, par exemple l’un des cercles relatifs au couple (A, B). Ce cercle doit toucher tout cercle L qui coupe A sous l’angle a et B sous l’angle (3; il suffira donc d’avoir trois de ces cercles L. Or, pour avoir un cercle L, on se donnera à volonté son rayon sphérique, et, alors, son pôle sera à des distances sphériques déterminées des pôles des cercles A et B.

Le problème correspondant de Géométrie plane a été traité au n° 403 comme application de la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques. On pourrait le résoudre exactement par les principes appliqués ci-dessus en remplaçant les arcs de grand cercle par des droites.

Enfin la méthode précédente s’étend également au problème analogue relatif aux sphères. On voit aisément que la sphère variable, assujettie à couper deux sphères sous des angles constants, reste tangente ci deux sphères fixes dont les centres sont sur la droite des centres des sphères données. Dès lors, la sphère qui coupe quatre sphères données sous des angles donnés doit toucher douze sphères, dont quatre (952) suffiront pour la trouver.

Le triple problème dont nous venons d’esquisser la solution a occupé divers géomètres; mais il avait été résolu, dès 1826, par Steiner ( Journal de C relie, t. I ) et par Heegmann ( Mémoires de la Société des Sciences de Lille).