I. — PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE L’ELLIPSE

973. L 'ellipse est une courbe plane telle, que la somme des distances de chacun de ses points à deux points Fixes de son plan est égale à une longueur constante. Ainsi ( fig \ 5 1 1 ), les deux points fixes étant F et F' et la longueur donnée étant représentée par la droite AA', on a pour tout point M de l’ellipse

D’après cela, pour décrire une ellipse d'un mouvement continu, on plante sur la feuille de dessin, en F el en F', deux

Fig. 5 11 .

épingles qu’on entoure d’un fil sans fin (c’est-à-dire dont les deux bouts sont réunis), auquel on donne la longueur totale FF' 4- AA'. On tend constamment ce fil à l’aide d’un crayon que l’on fait mouvoir sur le papier jusqu’à ce qu’on soit ramené au point de départ. La pointe du crayon trace évidemment l’ellipse demandée; car, pour une position quelconque AI de cette pointe, on a

FF' 4- MF 4- MF' = FF' 4- AA' oi

1». el nr, C. — Tr. de Gcom. ( I!9 Partie).

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Le procédé qu’on vient d’indiquer est surtout applicable sur le terrain : on remplace alors les épingles par des piquets, le fil par une corde et le crayon par un jalon. Nous mentionnerons plus loin d’autres tracés bien préférables au point de vue de l’exécution des épures.

Les points F et F' sont les foyers de l’ellipse, les droites MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. La longueur constante AA/ est ordinairement représentée par 2 a.

La distance FF' ou distance focale est représentée par 2 c. L’existence du triangle MFF' entraîne alors la condition 2 e<2fl ou c<Za.

Le rapport -est Y excentricité de l’ellipse. Cette excentricité peut varier de o à 1. Pour c= o, elle est nulle, les foyers se confondent et l’ellipse devient un cercle de rayon a. Pour c—a, l’excentricité est égale à 1, et l’ellipse se réduit à la portion de droite FF' = 2<z. Entre ces deux limites, l’ellipse se rapproche d’autant plus de la droite FF' que son excentricité est plus grande.

97k. On peut aussi tracer l’ellipse par points.

En effet, marquons [fi g* 5i2) le milieu 0 de la distance focale

Fig. 5i2.

sh/

FF' et, de part et d’autre du point 0, prenons OA — OA' = a, puis un point quelconque K sur AA'. Si des points F et F' comme centres, avec des rayons respectivement égaux à AK et A'K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs points d’intersection M et M' appartiendront à l’ellipse, puisqu’on aura

MF -+- MF' = M'F+M'F' ^ AIv 4- A'K = 2«.

La distance des centres FF' étant toujours moindre que la