LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 20 I

somme ici des rayons, il suffit, pour l’intersection des deux circonférences, qu’on ait, en supposant K à droite de O,

FF';>A'K — AK ou 2c>2« — 2 À K.

La condition cherchée est donc AK a — c ou AK > AF.

D’ailleurs, on peut échanger les centres F et F' sans modifier les rayons employés, de manière à obtenir pour chaque point K quatre points M et M', N et N' de l’ellipse. Les limites des positions du point K sont alors l’un des foyers F et le point O. Tout cela résulte immédiatement de la symétrie de l’équation de condition MF -+- MF' = 2 a par rapport aux deux rayons vecteurs d’un même point.

Si le point K est en O, les points correspondants de l’ellipse sont en B et en B' sur la perpendiculaire élevée à la droite FF' par son milieu. Si le point K est en F, les deux points correspondants de l’ellipse sont en A et en A'. Le rayon vecteur minimum est AF ou a — c, le rayon vecteur maximum est A' F ou rt + c .

THÉORÈME

975. L’ellipse a : 1 0 pour axes , la droite AA' ([aï passe par ses deux foyers et la droite BB' perpendiculaire au milieu de la première : 1” pour centre , /’ intersection de ces deux droites.

On appelle axe d’une courbe toute droite par rapport à laquelle les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux; on appelle centre d’une courbe tout point par rapport auquel les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux (058).

i° Soit M un point de l’ellipse [ fig. 5 1 3) ; on aura

MF -t- MF' = 2 <2.

Supposons alors que le plan de la figure fasse une demi-révolution autour de AA'. Dans ce mouvement, les foyers restent fixes, le point M vient dans la position symétrique M, et, comme le triangle MFF ne se déforme pas, on a

c’est-à-dire que le point M, appartient à l'ellipse. Dune à tout

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

point M de l'ellipse correspond un point M,, symétrique de M par rapport à AA'.

Si le plan de la figure fait de même une demi-révolution autour de CB', les foyers ne font que s’échanger, le point M vient dans la position symétrique M2 et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas, on a encore

ce qui montre qu’à tout point M de l’ellipse correspond un autre point M2 de la courbe, symétrique de M par rapport à BB'.

Fig. 5 1 3.

Fig. 5 14 .

Fig. 5 1 5.

20 L’autre partie de la proposition n’est qu’un cas particulier de ce théorème plus général : Quand une courbe possède deux axes rectangulaires xx' et yÿ , leur intersection O est un centre de la courbe (fîg. 5 1 4 ) •

Soient M un point de la courbe, M' son symétrique par rapport au point O, et N l’intersection des parallèles menées respectivement aux deux axes par les points M et M'. L’égalité des triangles rectangles MOP, OM'P' donne

MPr=zOP' = PN et M'P'r=OP=: P'N.

Le point N est donc à la fois symétrique de M par rapport à xx' et symétrique de M' par rapport à y/ . Or, le point N étant sur la courbe comme symétrique de M, le point M' en fait aussi partie comme symétrique de N. Donc à tout point M de la courbe correspond un point M' symétrique de M par rapport à O.

Il résulte de là que le milieu O de la distance focale FF' est un centre de l’ellipse.

I ES COURBES USUELLES