LIVRE Y1II

On peut d’ailleurs le démontrer directement comme il suit

ifig- 5i5)-

Soient M un point de l’ellipse et M' son symétrique par rapport à O; menons les rayons vecteurs de ces points. Les diagonales MM' et FF' se coupant mutuellement en parties égales, le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramme, et le point M' appartient à l’ellipse en vertu de l’égalité des deux contours FM F' et FM' F'.

Corollaires.

976. On appelle longueurs des axes de l’ellipse les longueurs AA' et BB' interceptées sur ces axes par la courbe (fig. 5i3). La longueur du premier axe AA' est donc (974) égale à 2 a, la longueur du second BB' est représentée par 26.

La perpendiculaire BO (fig. 5i3) étant moindre que l’oblique BF = a, on a

AA' est dit alors le grand axe et BB' le petit axe de l’ellipse.

Les extrémités À et A', B et B' des deux axes sont appelées les sommets de la courbe.

Le triangle rectangle BOF (fig. 5i3) donne a2=b--\-c\ relation qui permet de déterminer l’une des trois quantités a , b, c , lorsqu’on connaît les deux autres.

977. Quand on donne les longueurs a et b, il est facile de déterminer graphiquement les foyers : on n’a qu’à décrire de l’extrémité B du petit axe comme centre (fig. 5i3), avec un rayon égal à a , un arc de cercle qui coupe le grand axe aux deux foyers F et F'.

THÉORÈME

978. Suivant qu'un point est. intérieur ou extérieur à l’ellipse, la somme de ses distances aux deux foyers est plus petite ou plus grande que 2 a.

Soit d’abord (fig.5i6) un point N intérieur à l’ellipse. Joignons ce point aux deux foyers, prolongeons F' N jusqu’à la rencontre de la courbe en M, et menons MF. Un théorème connu donne immédiatement

N F -t- N F' < MF -h MF' ou NE -+■ NF' < ia.

GÉOMÉTRIE DANS LESPACE.

Soit de même un point N' extérieur à l’ellipse. Joignons ce point aux deux foyers; N' F' coupant la courbe au point M,

menons MF. En s’appuyant sur le même théorème, on aura ici N' F -h N' F' > MF -h MF' ou N'F + N'F' > ia.

Corollaire.

979. Le théorème précédent, rapproché de la définition de l’ellipse, fournit un critérium pour juger de la position d’un point quelconque du plan de la courbe par rapport à cette courbe supposée non tracée. Suivant que la somme des distances d’un point aux deux foyers est supérieure , égale ou inférieure à ia, ce point est hors de la courbe , sur la courbe ou dans son intérieur .

THÉORÈME

9S0. La tangente à V ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecleuis du point de contact , extérieurement à leur angle .

Prenons sur l’ellipse [fig. 5iy) deux points voisins M et M' ; menons la sécante MM'S et les rayons vecteurs des deux points M et M'. Portons sur F M une longueur F' D = F' M ' et sur FM une longueur FC = FM'. Le segment MD représente alors l’augmentation que subit le rayon vecteur mené du foyer F' quand on passe du point M au point M', et MC la diminution que subit le rayon vecteur mené du foyer F quand on passe du même point M au même point M' ; comme la somme des rayons vecteurs d’un point de l’ellipse reste constante, Ml) est égal à MC.

Cela posé, d’un point quelconque G delà sécante MM'S.