LIVRE VIIT. — LES COURBES USUELLES

menons aux droites M'D et M'C des parallèles GI et GII jusqu'à la rencontre des rayons vecteurs du point M. Le quadrilatère GIIMI étant semblable au quadrilatère M'C MI) (208), Légalité de MD et de MC entraîne celle de MI et de MIL D’ailleurs, les droites GII et GI, étant parallèles aux bases M' C et M'D des triangles isocèles CFM', 1)F' M', sont perpendiculaires aux bissectrices de leurs angles au sommet.

Quand le point mobile M' se rapproche du point fixe M, la sécante MM' S tend vers la tangente au point M. Les bissectrices des angles CFM', DF'M', ayant alors pour limites les rayons vecteurs FM, F'M du point M, les droites GII et GI ont elles-mêmes pour limites les perpendiculaires abaissées du point G sur ces rayons vecteurs. D’ailleurs, pendant ce mouvement, MH et MI varient en restant égaux entre eux.

Fi". 517. Fig. 5i8.

On voit, d’après cela, en passant à la limite, que ce qui caractérise la tangente MT au point M [fig. 5i8), c’est que, si, d’un point quelconque G de celte droite, on abaisse des perpendiculaires GII et GI sur les rayons vecteurs MF et MF' du point M, on ait MII = MI. Les triangles rectangles MGH, MGI sont alors égaux, et il en est de même des angles GMH, GMI. La tangente à l'ellipse est donc bissectrice de V angle formé par l’un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l’autre rayon.

L’angle F' MT, étant l’opposé par le sommet de l’angle GMI, les deux angles GMH ou FMT et F' MT, sont égaux, ce qui vérifie le premier énoncé du théorème.