LIVRE VIII

La tangente en un point d’une courbe peut couper la courbe en d’autres points; mais elle a nécessairement (11 1) avec la courbe au moins un point commun de moins que les droites qui en ont le plus. De ce qu’on vient de démontrer, il résulte donc qu'une droite ne peut rencontrer l’ellipse en plus de deux points, c’est-à-dire que l’ellipse est une courbe convexe .

983. Si l’on mène au point M [fig. 5 1 8 ) la perpendiculaire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, F'MN sont égaux comme compléments d’angles égaux. Donc, la normale à l’ellipse est bissectrice de l’angle formé par les rayons vecteurs du point de contact.

La normale en un sommet de l’ellipse se confond avec l’axe correspondant, et la tangente est perpendiculaire à cet axe, de sorte que la courbe est inscrite dans le rectangle construit sur ses axes.

Les propriétés précédentes justifient la dénomination de foyer. L’angle d’incidence et l’angle de réflexion étant égaux, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de l’un des foyers F d’une ellipse, viennent, en vertu d’une loi physique, après leur réflexion sur la courbe, converger à l’autre foyer FL

THÉORÈME

98i. Le lieu des symétriques <p de l’un des foyers F de l’ellipse par rapport aux tangentes est un cercle décrit de l’autre foyer Y’ comme centre, avec la longueur ia du grand axe pour ray on {fig. 5 19).

D'abord, tout point 9 du lieu est sur le cercle en question, puisque (981) F' 9 est égal à ia.

Inversement, tout point 9 de ce cercle est le symétrique de F par rapport à une certaine tangente à l’ellipse qui a F et F' pour foyers et le rayon F' 9 pour la longueur de son grand axe. En effet, soit M le point où F' 9 rencontre la perpendiculaire TT, sur le milieu K de F9. L’égalité des triangles KMF, KM 9, qui ont un angle droit compris entre deux côtés égaux, donne MF = M 9, d’où l’on déduit MF' 4- MF = MF' h-M 9 — F'9 ; donc (979) le point M appartient à l’ellipse. Les mêmes triangles entraînent, en outre, l’égalité des angles KMF, KM 9, et

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

par suite celle des angles KMF, T,MF'. Donc, la droite TT, est la tangente à l’ellipse en M (980). Donc, enfin, le point 9 du cercle est le symétrique de F par rapport à la tangente KT,.

On donne au cercle F' 9 le nom de cercle directeur relatif au foyer F'. Au foyer F répond aussi un cercle directeur de même rayon 2. a.

THÉORÈME

985. Le lieu clés projections clés foyers d’une ellipse sur ses tangentes est la circonférence de cercle décrite sur le grand axe comme diamètre .

Soient {Jig. 5*20 ) F et F' les deux foyers, K la projection du foyer F sur une tangente quelconque TT, et 9 le symétrique de F par rapport à cette tangente. Le côté F'9 du triangle FF' 9 étant égal à 2a (981), la droite OK qui joint les milieux des deux autres côtés est égale à a. Le point K appartient donc à la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.

Réciproquement, tout point Iv de cette circonférence est la projection de l’un des foyers F sur une tangente; car, si Ton prolonge FK d’une quantité K9 = KF, on aura

F'9 = 2 OK = 2 a.

Par suite le point 9 appartient au cercle directeur relatif au foyer F', et l’on a démontré au n° 984 que tout point de ce cercle est le symétrique de F par rapport à une tangente à l’ellipse.

Le cercle OK est dit le cercle principal de l’ellipse.

980. Si le sommet d’une équerre décrit le cercle principal d’une ellipse , pendant que l’un de ses côtés passe constamment par un foyer de la courbe, l’autre côté de l’équerre lui reste toujours tangent.

L1VKE Vin.

LES COUHBES USUELLES.

THÉORÈME

987. i° Le lieu des points équidistants d’un cercle de centre F' et d'un point intérieur F est une ellipse dont les points F et F' sont les foyers et dont le grand axe est égalait rayon du cercle ( fi g . 5 19).

En effet, soit M un point du lieu; sa distance à la circonférence est égale au segment M<p obtenu en prolongeant le | rayon F'M jusqu’à sa rencontre avec cette ligne. On a donc ! MF — Mcp, et par suite F'M -1- MF = F'M -b M9 = F'<p. Le ; point M appartient donc à l’ellipse définie dans l’énoncé.

Inversement, tout point M de cette ellipse est équidistant de | la circonférence et du point F; car, puisque F'M H- MF est égal à F' 9, c’est-à-dire à F'M •+- M9, c’est que MF est égal à Mo.

■i° La tangente en un point quelconque M du lieu est perpendiculaire sur le milieu K de la droite qui joint le point intérieur F à l’extrémité 9 du rayon F'M passant par M.

En effet, la tangente doit être également inclinée sur MF et MF', ou, ce qui revient au même, être la bissectrice de i’angle 9MF, et, comme ce triangle est isocèle, elle est perpendiculaire sur le milieu de la base F 9.

988. De là résulte, pour l’ellipse, un nouveau tracé donnant à la fois le point et la tangente :

De V un des foyers F', comme centre, décrivez un cercle de rayon égal à 2« ; joignez l’autre foyer F à un point quelconque 9 de ce cercle , et menez la perpendiculaire TT, sur le milieu de F9; cette perpendiculaire coupe le rayon F' 9 en un point M du lieu, et elle est en outre la tangente en ce point.

PROBLÈME