Mener une tangente à l' ellipse par un point donné

i° Si le point donné M est sur la courbe, on le joint aux deux foyers (fg. 5 18), et l’on mène la bissectrice de i’angle FMI formé par l’un des rayons vecteurs MF et le prolongement MI de l’autre rayon MF' (980).

20 Si le point donné P est extérieur à l’ellipse (fig. 52 0, on remarque que la question serait résolue, si l’on connaissait le symétrique 9 de l’un des foyers F par rapport à la tan-

3oo

GÉOMÉTRIE DANS l'ëSVACE.

gente cherchée; car on aurait des lors cette tangente en abaissant de P une perpendiculaire TT, sur Fcp : la droite TT, couperait d’ailleurs F'cp au point de contact M (988). Or, le point 9 se trouve à la fois sur le cercle directeur relatif au foyer F' (984) et sur le cercle de centre P et de rayon PF.

Pour que ces deux cercles se coupent, c’est-à-dire pour que le triangle F'Pcp existe, il faut et il suffit que chacun des côtés PF', P<p = PF, F'cp = 2 a, soit moindre que la somme des deux autres; de là les inégalités

PF'<2«+PF, PF < 2a -h PF', 2«<PF

Les deux premières sont satisfaites d’elles-mèmes, puisque a est plus grand que c et que le triangle PFF' donne

il ne reste donc que la troisième condition, qui (979) exprime que le point P doit être extérieur à l’ellipse.

Comme les circonférences tracées se coupent en deux points cp et cp,, il y a deux solutions qui se réduisent à une seule lorsqu’on a PF -+- PF'— 2a, c’est-à-dire lorsque le point P est sur la courbe.

Corollaires.

990. Cherchons la condition pour que les deux tangentes menées du point P à l’ellipse soient à angle droit.