LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 3o I

Si les deux tangentes TT,, T' T,, menées du point P, sont à angle droit [fg. 522 ), comme elles sont respectivement perpendiculaires sur le milieu des droites Fcp, F©,, l’angle 9F9, de ces deux droites doit être lui-même un angle droit. Cet angle étant inscrit dans la circonférence PF dont le centre est P, la droite 99, est un diamètre de cette circonférence, et P est le milieu de ce diamètre.

Le lieu du point P est donc le lieu décrit par le milieu de la corde interceptée dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit tournant autour de son sommet fixe F. Or, si l’on joint le point P aux foyers F et F', on a P 9 = PF, et le triangle rectangle F' P 9 donne alors

j PÏ"'2.+ P92 = PF'2 + PF2 = F92 = 4 a».

La somme des carrés des distances du point P aux points F et F' étant constante, le lieu des sommets P des angles droits circonscrits à Vellipse est une circonférence concentrique à cette courbe (232). Le rayon de ce cercle est d’ailleurs égal à

/>•', puisque les sommets du rectangle construit sur les axes appartiennent évidemment au lieu.

99 1 . Les tangentes PM, PM', menées à Vellipse par un point extérieur P , font des angles égaux avec les droites qui vont du point P aux deux foyers; la droite qui va du point P à l’un des foyers est bissectrice de V angle formé par les rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M et M' [fig- 523).

Fij. 523.

Menons les deux cercles directeurs de l’ellipse. 9 étant le symétrique de F par rapport à la tangente PM et 9' le symc-

GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE

trique de F' par rapport à la tangente PM', les deux triangles PF9' et PF' 9 sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Les angles FPcp' et F' P 9 sont donc égaux. Si l’on enlève la partie commune FPF', les restes FP9, F'P9', sont égaux, ainsi que leurs moitiés MPF, M'PF'.

Fm second lieu, l’égalité des triangles PF9', PF'9, entraîne celle des angles PF 9', P 9 F'. Mais les deux triangles PM 9, PMF étant égaux, l’angle P9F' est aussi égal à l'angle PFM, et la droite PF est la bissectrice de l’angle MFM\

PROBLÈME

992. Mener à l’ellipse une tangente parallèle à une droite donnée.

Tout revient encore à trouver le point symétrique 9 de l'un des foyers F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point est à l’intersection du cercle directeur relatif au foyer F' (984) et de la perpendiculaire menée du foyer F sur la droite donnée 1)1)' [fig. 024). Celle perpendiculaire coupe toujours le

cercle F" en deux points 9 et 9,, puisque le point F est intérieur à ce cercle. Les perpendiculaires TT, et T' TJ élevées aux droites F9 et F 9, par leurs milieux sont les tangentes demandées, et leurs points de contact M et M' sont à leurs rencontres respectives avec les rayons F' 9 et F' 9, (988).