LIVRE VIII. — LES GOURDES USUELLES

Corollaires.

993. Les deux points de contact M et M' des deux tangentes parallèles TT,, T T, sont symétriques par rapport au centre O de l’ellipse.

En effet, les triangles FMcp, FM'tp,, 9 F' 9, sont des triangles isocèles ayant tous un angle égal à la base; ils sont donc semblables et ont leurs côtés parallèles. La figure MFM'F' étant un parallélogramme, la diagonale MM' passe par le milieu O de la diagonale FF' et y est divisée en deux parties égales.

Inversement, les tangentes menées ci l’ellipse en deux points symétriques par rapport au centre sont parallèles. Car le quadrilatère MFM'F' étant dans ce cas un parallélogramme, puisque ses diagonales se coupent en parties égales, les angles FM 9, FM' 9, ont leurs côtés parallèles et sont égaux. Il en est donc de même de leurs moitiés (980) FMT, 9,M'T', ce qui entraîne le parallélisme des tangentes MT, M'T', aux points M et M '.

994. La propriété précédente appartient d’ailleurs à toutes les courbes à centre. Dans toute courbe à centre , les tan genles en deux points M et M' symétriques par rapport au centre O sont parallèles et, par suite, équidistantes du centre .

En effet, si N (fi g. 5a5) est un point de la courbe voisin de M, et N' son symétrique par rapport à O, l’égalité des triangles MON, M'ON', prouve le parallélisme des cordes ou sécantes MN, M'N', et leur égale distance au centre. Quand N tend vers M, N' tend vers M'. Les deux sécantes tournent donc à la fois autour des points M et M', de manière à devenir ensemble tangentes, en restant toujours parallèles et équidistantes du centre.

995. Les points K et K' (fi g. 524) appartiennent au cercle principal de l’ellipse (985). Les deux segments FK, FR', étant alors ceux d’une corde quelconque de ce cercle passant par le foyer F, leur produit est constant. On peut donc dire que le produit des distances d’un foyer à deux tangentes parallèles est constant. Si l’on mène par le foyer F' la corde LL' du cercle principal qui est parallèle à KK', on a évidemment FK' — F'L. On peut donc dire aussi que le produit des distances des deux

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE