LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

points F et F' comme centre, avec des rayons respectivement égaux à AK et à À' K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs

Fi;*. 528.

IsK"

points d’intersection M et M' appartiendront à l’hyperbole, car on aura

MF' — MF = M' F' — M' F = A' K — AK = 2 a .

La distance des centres FF' étant toujours plus grande cjue la différence ia des rayons, il suffit, pour l’intersection des deux circonférences, que celte distance soit moindre que la somme des rayons, c’est-à-dire qu’on ait

F F' AK A' K ou 1 c <C 2 AK -f- 1 a.

La condition cherchée est donc

A K c — a ou A K >> AF.

Comme on peut échanger les centres sans modifier les rayons, chaque point K permet d’obtenir quatre points M et M', N et N' de l’hyperbole. Le point K doit seulement être au delà du point F, sans que rien limite sa position à droite de ce point. Ce que nous venons de dire résulte d’ailleurs de la symétrie de l’équation de condition MF' — MF — dz arq par rapport aux deux rayons vecteurs.

Si le point K est en F, les points correspondants de l’hyperbole sont les points A et A'. Le rayon vecteur minimum este — a; il n’y a pas de rayon vecteur maximum, puisque les rayons vecteurs d’un point de la courbe peuvent croître jusqu’à l’infini.

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

100*2. L'hyperbole a : i° pour axes, la droite AA' qui passe par scs deux foyers, et la droiteV»Vé perpendiculaire au milieu de la première ; 2° pour centre, V intersection O de ces deux droites {fi g- 628).

Môme démonstration que pour l’ellipse (075), en considérant la différence des rayons vecteurs au lieu de leur somme.

1003. Des deux axes AA' et BB', le premier seul rencontre la courbe. L’axe AA' est dit l’axe transverse de l’hyperbole, l’axe RB' est dit son axe non transverse . Les extrémités A el A' de l’axe transverse sont les sommets de la courbe.

Un point du plan est dit extérieur à l’hyperbole lorsqu’il esl situé entre les deux branches (F) et (F'); il est dit intérieur s’il est placé soit à gauche de la branche (F'), soit à droite de la branche (F).

perbole, la différence de ses distances aux deux foyers est plus grande ou plus petite que ‘la ( fig . 529).

Soit N un point intérieur et supposons, pour fixer les idées, qu’il soi ta droite de la branche (F); INF' coupera celte branche en un point M, et on aura

c’est-à-dire

LES COURBES USUELLES

NF' — NF > MF' — MF ou

Soit N' un point extérieur; N' F coupera un point M, et on aura

N' F' — MN' < MF', d’où N' F' — MN' -

la branche (F) en MF < MF' - MF,

c’est-à-dire

Corollaire.

1005. Ce théorème, rapproché de la- définition de la courbe, fournit un critérium pour juger de la position d’un point quelconque de son plan par rapport à l’hyperbole supposée non tracée. Suivant que la différence des distances du point considéré aux deux foyers est inférieure , égale ou supérieure à 2 a, ce point est hors de la courbe , sur la courbe ou dans son ultérieur .

THÉORÈME

1006. La tangente à V hyperbole est la bissectrice de l’angle formé parles rayons vecteurs du point de contact (f g. 53o,53i).

Même démonstration que pour l’ellipse (080), en remarquant que dans l’ellipse les rayons vecteurs d’un même point varient en sens contraires, tandis que dans l’hyperbole ils varient dans le même sens.

1007. Réciproquement, ta courbe dont la tangente fait des angles é°tux, extérieurement ou intérieure ment , avec les rayons vecteurs menés du point de contact a deux points fixes, est une ellipse ou une hyperbole dont ces points fixes sont les foyers.

En effet, si l’on abaisse d’un point G de la tangente MT [fi g. 53o) des

Fig. 53o.

perpendiculaires GH et G1 sur les rayons vecteurs du pointM, les triangles rectangles ainsi formés seront égaux, puisque la tangente est, par hypothèse, la bissectrice de l’angle HMI; on aura donc Mil = Ml.

3lO GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.

Considérons maintenant la sécante MM S ( fïg . 53 1) qui coupe la courbe en M et en M', et portons les rayons vecteurs du point M' sur ceux du point M en FC et en F'D. Si Ton mène alors d’un point G quelconque de

Fig. 35 i.

la sécante les parallèles GII et GI à M'C et à M'D, les quadrilatères M'CMD, GHMI, seront semblables, et l’on aura constamment

MC Mil MD “ Ml ’

Mais à la limite, quand le point M' vient en M, la sécante MM'S est remplacée par la tangente MT, et l’on a Mil = MI. Donc la limite du rap-

port est aussi 1 unité.

Cela posé, soient P et Q deux points quelconques de la courbe, mais tels qu’en allant de P en Q le rayon vecteur relatif au foyer F aille toujours en croissant; alors le rayon vecteur relatif au foyer F' ira toujours en décroissant ou toujours en croissant. Concevons l’arc PQ divisé en n parties telles, que, lorsque n croît indéfiniment, chacune des parties tende vers zéro; désignons par a et v les rayons vecteurs de P, par u' e t v' ceux de Q, et par (u i, (q), («2î ‘'2), • • - , (««-1, 1), ceux des points inter¬

médiaires.

Si les rayons vecteurs e, (q, . . ., G, relatifs au foyer F , vont en croissant, les rapports

n 1 — u //5 — H\ u — il n-\

Cl— C <'2 — (q C —

auront tous l’unité pour limite, lorsque n croîtra indéfiniment; et comme le rapport

obtenu en divisant la somme des numérateurs par celle des dénominateurs, a une valeur comprise entre celles des premiers, il faut qu’on ait

LiwtE vnr.

LES COlRBES USUELLES.

La courbe est donc une hyperbole, puisque la différence des rayons vecteurs reste constante.

Si les rayons vecteurs v, <q, . . . , ew-i, <»' relatifs au foyer F' vont en décroissant, le raisonnement subsiste, à la condition de changer les signes des dénominateurs; on arrive ainsi à

La courbe est donc une ellipse, puisque la somme des rayons vecteurs reste constante.

Enfin, si l’arc PQ était trop étendu pour que les rayons vecteurs relatifs au foyer F varient toujours dans le meme sens, on décomposerait cet arc en plusieurs parties satisfaisant à la condition, et la somme (ou la différence) des rayons vecteurs restant constante dans chaque partie serait la même à l’origine P et à l’extrémité Q.

Corollaires.

1008. i° La droite F' cp qui joint un foyer F' de V hyperbole au symétrique cp de l’autre Joyer F par rapport à une tangente quelconque TT, passe par le point de contact de cette tangente et est égale à la longueur 2 a de l’axe transverse [fg. 53a).

Fi j. 53

2° Tous les points de la tangente MT, sauf le point M, sont extérieurs à l’hyperbole, qui est, par suite, une courbe convexe.

Mêmes démonstrations que pour l’ellipse (981, 982), en remplaçant la somme des rayons vecteurs par leur différence.

1009. Si l’on mène au point M [fg. 53?.) laire MN à la tangente MT, les angles FM N,

une perpendicu- LMM sont égaux

GÉOMÉTRIE DAXS L ESPACE.

comme compléments d’angles égaux. Donc, la normale à V hyperbole est la bissectrice de ly angle formé par l’un des rayons vecteursdu point de contact et le prolongement de l’ autre rayon .

La normale en un sommet de l’hyperbole se confond avec l’axe transverse, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

Si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers ou sont homofocales, elles se coupent à angle droit; car, en l’un quelconque des points d’intersection, la tangente de l’une est la normale de l’autre (980, 983).

Dans le cas de l’hyperbole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de l’un des foyers F, s’éloignent de plus en plus de l’autre foyer F' après leur réflexion sur lacourbe; mais toutes leurs directions prolongées viennent y converger.

THÉORÈME

1010. Le lieu des points symétriques cp de l’un des foyers F par rapport aux tangentes est un cercle ( directeur ) décrit de l’autre foyer F' comme centre avec la longueur ici de l’axe transverse pour rayon [ fi g 532 ) [984].

THÉORÈME

101 1 . Le lieu des pro jections des foyers d ’une hy perbole sur

ses tangentes est la circonférence décrite sur l axe transverse comme diamètre ( fig . 532).