LIVRE VIII
LES COURBES USUELLES
On donne à celle circonférence le nom de cercle principal.
Meme démonstration que pour l'ellipse (985).
THÉORÈME
1012. Le heu des points équidistants d’un cercle de centre I' et d’un point extérieur F est une hyperbole dont les points F et F' sont les foyers, et dont l’axe transverse est égal au rayon du cercle [Jig- 533).
Lai tangente en un point quelconque M du lieu est la perpendiculaire sur le milieu K de la droite qui joint le point F à l’extrémité du rayon F'cp passant par M.
Comme pour l’ellipse (987).
Corollaire.
1013. J)e là, pour l’hyperbole, un nouveau tracé donnant à la fois le point et la tangente.
Décrivez le cercle directeur relatif à l’un des foyers F', c’està-dire le cercle dont le centre est F' et dont le rayon est égal à ia; joignez l’autre foyer F à un point quelconque <p de ce cercle, et menez la perpendiculaire IvT sur le milieu de F <p; cette perpendiculaire rencontre le rayon F'cp en un point M de l’ hyperbole et elle est en outre la tangente en ce point.
El suit de cette construction que, sur toute droite indéfinie GG' jiassant par F', il y a deux points de l’hyperbole et seulement deux; ils correspondent aux deux points <p et <p' où le diamètre GG' coupe le cercle directeur.
Scolik.
101 k. Une droite OY est dite asymptote d’une branche infinie de courbe AL, si la distance MP d’un point quelconque M de la courbe à la droite tend vers zéro quand le point Al s’éloigne indéfiniment en restant sur la courbe.
THÉORÈME
1015. L’ hyperbole a pour asymptotes les perpendiculaires i)x et O y abaissées du centre O sur les tangentes FÎT, Fil, menées par l’un des foyers F au cercle directeur relatif à l’autre foyer E"' [Jig. 533).
3 I 4 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE
En effet, remarquons d’abord que tout point de chacune des droites xx' et //' est extérieur à la courbe, car, soit D, par exemple, un point quelconque de//'; cette droite, étant parallèle à F' H et passant par le milieu de FF', passe par le milieu de FH; on a donc DF = DH, et, par suite,
DF - DF = DF' - DH < F H ou ia.
En second lieu, il est facile de voir que, P désignant le point commun à GG' et II F, le point E où GG7 rencontre la perpendiculaire élevée sur le milieu I de PF est intérieur à la courbe. Car on a
EF'— EF = EF — EP = F P > 2 a.
On conclut de là, en désignant par D' et D les points où GG' coupe xx’ et//', que les deux points (1013) M' et M, où GG' rencontre l'hyperbole, sont situés, l’un entre F' et D', l’autre entre D et E; car, en allant de F' en D', on passe de l’intérieur à l’extérieur, et en allant de D en E, on passe de l’extérieur à l’intérieur.
Cela posé, considérons, par exemple, le point M correspondant au point 9 du cercle directeur : pour que ce point s’éloigne indéfiniment sur la courbe, il faut et il suffit que les deux droites F'9 et KT, dont il est l’intersection, deviennent parallèles; et, comme la seconde est sans cesse perpendiculaire à F9, il faut et il suffit que F 9 devienne perpendiculaire à F'9, c’est-à-dire devienne la tangente FII au cercle directeur. Mais lorsque 9 tend vers Iï, PH tend vers zéro, et, comme on a
i PH = { FH - i FP = FC - FI = IC,
IC tend aussi vers zéro; or, d’après l’alinéa précédent, le point M est situé entre D et E; sa distance MO à 0/ est donc moindre que IC; donc MO a pour limite zéro, et par suite 0/ est asymptote (’).
101G. Il importe de remarquer que l’asymptote 0/ est la
(’) Cette ingénieuse démonstration nous a été communiquée par AI. Lenglier, proviseur au lycée Charlemagne.
