LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

limite vers laquelle tend la tangente KT au point M, quand M s’éloigne indéfiniment sur la courbe ; car la tangente KM, étant sans cesse perpendiculaire sur le milieu de Fcp, devient à la limite la perpendiculaire élevée sur le milieu de FH.

1017. La droite OKy étant parallèle à F'H et égale à sa moitié a, on voit que le cercle principal AA' [fig- 534) touche au point K la tangente FH au cercle directeur.

Fig.

Fig. 535.

Menons [Jig. 535) A y perpendiculaire à FF' jusqu’à sa rencontre avec l’asymptote Or; puisqu’on a OK = a — OA, les triangles rectangles OAy, OKF sont égaux, et l’on en conclut Oy = OF — c.

Achevons le rectangle yy'od', et soient K et B' les points où l’axe non transverse rencontre yâ et y'ô' ; par analogie avec l’ellipse, on donne à la longueur BB' le nom de longueur de l’axe non transverse de l’hyperbole, et on la représente par i b.

Les trois longueurs a , b, c sont liées entre elles par la relation c2 — a2 -h b7. Elles sont liées dans l’ellipse par la relation c2= a7 — b7, qui ne diffère de la précédente que par le changement de b2 en — b2. Par suite, les propriétés de l’ellipse et de l’ hyperbole qui ne dépendent que des longueurs de leurs axes se déduisent les unes des autres par le simple changement de b7 en — b7.

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

Lorsqu’on donne les longueurs des axes de l’hyperbole, il est facile de déterminer graphiquement les foyers. On n’a qu’à élever à l’extrémité À de l’axe transverse une perpendiculaire A y = b ( fig . 535) et à décrire du point O comme centre, avec O y pour rayon, une circonférence qui coupe l’axe transverse aux deux foyers F et F'. On trouve en meme temps l’asymptote O y et sa symétrique Oy'.

1018. On appelle hyperbole équilatère une hyperbole dont les deux axes ont la même longueur. Le rectangle yy'dà' [fig . 535) devenant alors un carré, on voit que les asymptotes d’une hyperbole équilatère sont à angle droit l une sur V autre.

1019. On entend par h yperboles conjuguées deux hyperboles qui, ayant les mêmes axes et, par suite, le même centre, la même distance focale et les mêmes asymptotes, sont situées par rapport à ces asymptotes dans des angles différents; c’està-dire que l’axe transverse de l’un.e est l’axe non transverse de l’autre, et réciproquement [fi g- 535).

Deux hyperboles conjuguées ne sont identiques et ne peuvent se substituer l’une à l’autre par un quart de révolution, que lorsqu’elles sont équilatères (1018).

PROBLÈME

1 020. Mener une tangente à l 'hyperbole par un point donné.

Mêmes procédés que pour l’ellipse (989). Ici c’est la troisième

des inégalités du n°989, 2°, qui est satisfaite d’elle-même, puisque «est moindre que c , etqueletrianglePFF'donne2c<PF + PF'; les deux premières expriment (1005) que le point. P doit être extérieur à V hyperbole .

Corollaires.

1021. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à V hyperbole est une circonférence concentrique à la courbe et

ayant pour rayon fa1— b1 (990).

La démonstration directe est la même que pour l’ellipse.