LIVRE VIH

— LES COURBES USUELLES. 3 I 7

Seulement, la question revient ici à chercher le lieu des milieux des cordes interceptées dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit dont le sommet F lui est extérieur. Le problème peut alors être impossible, et le lieu cesser d’exFter, si l’on a a <g b,

La tangente de l’angle aigu forme par l’asymptote 0/ avec l’axe transverse étant représentée par -n le problème est impossible quand cet angle est supérieur à z[5 degrés ou quand l’angle yOx des deux asymptotes [fig. 535) est obtus: il est possible, au contraire, quand cet angle est aigu»

En effet, l’angle des deux asymptotes est précisément (1017) le supplément de celui des deux tangentes qu’on peut mener au cercle directeur F' par le foyer F. Or, ce n’est que lorsque l’angle de ces deux tangentes est obtus que les deux côtés de l’angle droit dont le sommet est en F peuvent rencontrer à la fois le cercle F'»

Lorsque l’angle des asymptotes est droit, celui des deux tangentes menées du foyer F au cercle directeur F' est aussi droit, et il n’y a pas d’autre angle droit circonscrit à l’hyperbole que celui de ses asymptotes. Ce résultat limite est d’ailleurs évident; car, la courbe étant alors équilatère (1018), on a a = b, et le lieu se réduit au centre de l’hyperbole.

1022. Les tangentes PM, PM', menées à V hyperbole par un point extérieur P, font des angles égaux avec les droites qui vont du foyer P aux deux foyers ; la droite qui va du point P à Vun des foyers est bissectrice de l’angle intérieur ou extérieur des rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M et M', suivant que les deux tangentes touchent l’hyperbole dans la même région ou dans deux régions différentes.

Même démonstration que pour l’ellipse (991).

Les propositions des nos 991 et 1022 conduisent à une démonstration très simple (Darbolx, Bulletin, t. XIV) de la condition pour qu’un quadrilatère, convexe ou non, soit circonscriptible à un cercle. Cette condition, d’abord mal énoncée par Pitot ( Mémoires de V Académie, 1725), puis rectifiée par Steiner [Journal- de C relie, t. 32), consiste en ce que :

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Dans tout quadrilatère circonscrit , la somme de deux côtés (opposés ou adjacents, suivant les cas) est égale à la somme des deux autres ; et réciproqu cment.

La proposition directe est évidente; elle résulte immédiatement de l’égalité des deux tangentes menées à un cercle par un point extérieur. C’est la réciproque seule qui exige quelque attention pour être établie en toute généralité. ABCD étant le quadrilatère considéré, l’hypothèse consistera dans l’une des égalités

AB + BC = AD -h DC, AB — BC = AD -- DC, AB — BC = DC — AD ;

mais l’une quelconque de ces égalités exprime qu’il y a une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers les deux sommets opposés A et C et passant par B et D. Les tangentes en B et D à cette courbe se coupent en un point P, et il résulte des théorèmes (991 et 1022) que par ce point P viennent passer une des bissectrices de l’angle A et une des bissectrices de l’angle C ; ce point P est donc équidistant des quatre côtés du quadrilatère, et, par suite, il est le centre d’un cercle inscrit à cette figure.

1023. Mener cl l’ hyperbole une tangente parallèle à une droite donnée [fi g» 536).

Fif

Même procédé que pour l’ellipse (992). Seulement, le problème n’est pas toujours possible. Il faut que, si l’on mène