LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

par le centre de la courbe une parallèle à la droite donnée, elle ne tombe pas dans les angles des asymptotes qui renferment l’hyperbole. En effet, pour que la perpendiculaire menée du foyer F à la droite donnée rencontre le cercle directeur F', il faut et il suffit que l’angle aigu de F cp avec l’axe transverse soit moindre que l’angle aigu que fait avec le même axe la tangente menée de F au cercle F'; or ces angles sont respectivement les compléments des angles aigus d et 6 que l’axe transverse forme avec la droite donnée DD' et avec les asymptotes; on doit donc avoir

7T— d<-— 0, d’où a >0.

Si la condition est remplie, il y a deux solutions T et T'. Pour a = 0, il n’y a plus qu’une solution : c’est l’asymptote à laquelle la droite donnée est alors parallèle.

Corollaires.

102k. Les deux tangentes parallèles à une droite donnée ont leurs points de contact symétriques par rapport au centre (093).

1023. Le produit des distances d' un foyer à deux tangentes parallèles ou le produit des distances des (Jeux foyers à une même tangente est constant.

Comme pour l’ellipse (995).

Les constructions des nos 1020 et 1023 n’exigent pas que l’hyperbole soit tracée (996).

PROBLÈME

1026. Connaissant les foyers F et F' et l’axe transverse d une hyperbole, déterminer ses points de rencontre avec une droite donnée.

Même procédé que pour l’ellipse (997), seulement la discussion exige quelque attention.

Soient h l’hyperbole, d la droite donnée, o l’angle aigu de celte droite et de l’axe transverse, 0 l’angle aigu des asymptotes et du même axe.

GÊOHÉTUIË DANS L EST ACli.

3ao

Les points communs à // et à d sont les centres des cercles qui, touchant le cercle directeur F', passent par l’autre foyer F et par le point 9 symétrique de F par rapport à d. De plus, un point commun à h et à d appartient à l’une ou à l’autre branche de l’hyperbole, suivant que le cercle directeur F' est extérieur au cercle tangent ou est enveloppé par ce cercle.

Cela posé :

i° Si d est inférieur à 0, d coupe h en deux points situés sur deux branches distinctes ; car la droite indéfinie F cp étant alors extérieure au cercle F', il y a deux cercles tangents dont un seul enveloppe le cercle F'.

20 Si à est supérieur à 9, la droite indéfinie F cp coupe le cercle F', et il y a trois cas à distinguer. F' 9 étant inférieur à rsa, d ne rencontre pas h ; car 9 est alors intérieur au cercle F', et il n'y a pas de cercle tangent. F' 9 étant égal à 2 a, d louche //; car 9 est alors sur la circonférence F', elles deux cercles tangents se réduisent à un seul. Enfin, F 'cp étant supérieur à au, d coupe h en deux points appartenant à une même branche ; car cp est alors extérieur au cercle F', et il y a deux cercles tangents qui enveloppent tous deux le cercle F' ou auxquels le cercle F' est à la fois extérieur, suivant que F' et 9 sont séparés ou non par le cercle F'.

3° Si d est égal à 6, la droite F 9 est tangente au cercle F', et il y a deux cas. Si d est une asymptote, elle a deux points communs à l’infini avec h , puisque le point 9 est alors sur la circonférence F' et que les deux cercles tangents se réduisent à la droite F9. Si d n est que parallèle à une asymptote , elle a avec / hyperbole deux points communs, dont un seul à distance finie ; car le point cp est alors extérieur au cercle F', et il y a deux cercles tangents dont l’un se réduit à la droite F 9.

Observons enfin qu’on peut donner d’autres formes aux énoncés des conditions précédentes, en introduisant la considération, soit de la parallèle menée par le centre à la droite donnée, soit destangentes parallèles à cette droite. Par exemple.