III. — PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE LA PARABOLE

1027. La parabole est une courbe plane telle, que chacun | de ses points est équidistant d’un point Fixe et d’une droite fixe donnés dans son plan. Ainsi ( fi g . 53;), le point Fixe

Fiff- 537-

étant F et la droite Fixe DD', on aura, pour tout point M de la parabole, en abaissant MH perpendiculaire sur 1)1)', MF = MH. Par sa définition même, la parabole est nécessairement située tout entière du même côté que le point fixe par rapport à la droite fixe.

D’après ce qu’on vient de dire, pour décrire un arc de parabole d’«/z mouvement continu, on fait coïncider l’arête R. et de C. — Tr. de Ge'orn. (IIe Partie). 2 1

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

d’une règle avec la droite DD', et l’on applique contre celte règle le petit côté KH d’une équerre KHG. Un fil, égal en longueur au grand côté ÏIG de cette équerre, est fixé par ses deux extrémités, d’une part au point F, et de l’autre à l’extrémité G du côté 11G. Si l’on tend alors constamment ce fil contre le grand côté de l’équerre à l’aide d’un crayon, et si l’on fait en même temps glisser l’équerre le long de la règle, la pointe du crayon décrit un arc de parabole. En effet, pour une position quelconque M de cette pointe, on a

GM + MF = GU = GM + MII, d’où MF = MH.

En opérant de celte manière, on trace d’un mouvement continu l’arc BA, qui va du point B de la courbe dont la distance au point F est égale à GH, jusqu’au point A milieu de la perpendiculaire FL abaissée du point F sur la droite DD'. 11 faut ensuite retourner l’équerre, comme l’indique la figure, pour décrire l’arc AB'.

On voit que la parabole est formée de deux branches qui s’étendent indéfiniment, à partir du point A, au-dessus et au-dessous de la droite FL; car, si l’on emploie une règle, une équerre et un fil assez longs, rien ne limite l’éloignement des points obtenus sur la courbe. La parabole est donc une courbe à branches infinies, mais sans séparation, et d’un seul côté de la droite fixe.

1028. Le point F est le foyer de la parabole, la droite DD' est sa directrice. La droite MF est le rayon vecteur du point M. La distance FL du foyer à la directrice se nomme le paramètre de la courbe, et on la représente parp.

1029. On peut aussi tracer la parabole par points.

En effet, prenons (fig- 538) un point P quelconque sur la perpendiculaire FL abaissée du foyer sur la directrice. Par le point P, menons une perpendiculaire à FL ou une parallèle à la directrice, et du foyer F comme centre, avec PL pour rayon, décrivons une circonférence qui coupera cette parallèle en deux points M et M' appartenant à la parabole, comme équidistants du foyer et de la directrice.