LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

Pour que les points d’intersection M et M' existent, il suffit que le point P soit à l’intérieur du cercle décrit du foyer F comme centre avec PL pour rayon, c’est-à-dire qu’on ait FP< PL. Celle condition sera toujours remplie lorsque le point P sera à droite du foyer F (dans le cas delà figure); mais elle exige, si le point P est à gauche de F, qu’il reste à

Fig. 538.

droite du point A milieu de FL. Si l’on a dans ce cas, comme condition limite, FP=PL, le point P se confond avec le point A, et les deux points M et M' se réunissent en ce point.

Le rayon vecteur minimum est donc AF ou-; il n’y a pas de

rayon vecteur maximum, rien ne limitant l’eloignemeni du point P à droite du foyer F.

THÉORÈME

1030. La parabole a pour axe la perpendiculaire menée du foyer sur la directrice (fig. £>37).

Même démonstration que pour l’ellipse (975, i°).

Le point A, commun à la parabole et à son axe, est le sommet de la courbe.

THÉORÈME

1031. Suivant qu’un point est intérieur ou extérieur à la parabole, sa distance au foyer est moindre ou plus grande que sa distance à la directrice ( fi g . $39'.

Soit d’abord un point N intérieur à la courbe. Menons la droite NF et la perpendiculaire Nil à la directrice, laquelle

32 j GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.

coupera la parabole au point M (1027). Le triangle NFM donne alors

NF<NM-h MF ou NF<NH, puisque MF — MIL

Soit de même un point N' extérieur à la courbe. Si le point N' et le foyer sont de côtés différents par rapport à la directrice, la proposition est évidente. Sinon, menons la

Fig. 53cj.

droite N'F et la perpendiculaire N' Il à la directrice, laquelle, prolongée, coupera la parabole au point M. Le triangle N' FM donne alors

N' F > MF - MN' ou N,F>N,II, puisque MF = MIL Corollaire.

1032. Ce théorème, rapproché de la définition de la courbe, fournit un critérium pour juger de la position d’un point quelconque de son plan par rapport à la parabole supposée non tracée. Suivant que la distance du point considéré au foyer est égale, supérieure ou in férieure à sa distance à la directrice, ce point est à la courbe, il lui est extérieur ou intérieur.

THÉORÈME

1033. La tangente à la parabole fait extérieurement dts angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l'axe par le même point.

Prenons sur la parabole [fi g* 54o) deux points voisins M