LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

et M'; menons la sécante MM'S, abaissons des deux points considérés les perpendiculairesM <p, M' <z>', sur la directriceDI)', et traçons leurs rayons vecteurs. Portons sur FM une longueur FC = FM', et sur c p M une longueur yE = y M'. D’après la définition de la parabole, MC est égal à ME.

Fig. 5/(0.

Fig. 54i.

D’un point G quelconque de la sécante MM'S, menons à M'C cl à ME, jusqu’à la rencontre de FM et de cpM, les parallèles GI et GH. Les deux quadrilatères CM'EM, IGUM sont semblables (208), et l’égalité de MC et de ME entraîne celle de Ml et de M II.

A mesure que le point M' se rapproche du point M, GII reste, comme M E, perpendiculaire à Ma?, tandis que GI, perpendiculaire à la bissectrice de l’angle au sommet du triangle isocèle M FC, tend à le devenir au rayon vecteur FM. On a de plus constamment MI = MH. Latangenteà la parabole [fi g. 54») doit donc être telle, que si, d’un point quelconque G pris sur cette droite, on abaisse des perpendiculaires GI et GH sur le rayon vecteur du point de contact M et sur la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice, on aitMI=MH. Les triangles rectangles MGI, MGH sont donc égaux, ainsi que les angles G MI, GM H. La tangente à la parabole est donc bissectrice de l’angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice.

Mais, l’angle GMII étant l’opposé par le sommet de l’angle

3?6 GÉOMÉTRIE PANS l/ ESPACE.

T, MO, les deux angles GM1 ou IMF et T, MO sont égaux ; ce qui conduit à l’énoncé adopté.

1034. Réciproquement, la combe dont la tangente est bissectrice de V angle formé parles droites menées d'un point delà courbe à un point fixe, et perpendiculairement à une droitefixe, est une parabole ayant le point et la droite fixes pour foyer et pour directrice.

Démonstration analogue à celle donnée pour Fellipse et Fhyperbole (1007).

Corollaires.

1035. Soit S le point où la sécante MM' S (fi g. 5{o) coupe la directrice DD'. On a, à cause des parallèles,

MS Mcp MF M7S“Mÿ “ MF ’

la droite SF est donc la bissectrice de l’angle extérieur en F du triangle MFM' (185). La droite qui joint le foyer d' une parabole au point de rencontre d’une sécante quelconque avec la directrice est donc bissectrice de l’angle extérieur des rayons vecteurs des points d’intersection de la sécante avec la courbe.

A la limite, quand la sécante devient tangente, c’est-à-dire quand l’angle MFM' devient nul, la droite SF est remplacée (fig. 540 parla droite RF bissectrice de l’angle supplémentaire de cet angle nul. Par suite, la droite qui joint le foyer d’une parabole au point oà une tangente quelconque rencontre la directrice est perpendiculaire sur le rayon vecteur du point de contact.

1030. Tous les points de la tangente MT, sauf le point de contact M, sont extérieurs à la parabole qui, par suite (982), est une courbe convexe (fig. 542).

En effet, le triangle FM 9 étant isocèle et la tangente étant la bissectrice de son angle au sommet (1033), elle est perpendiculaire sur le milieu Iv de Fcp. Pour un point T, quelconque de la tangente, on a donc, T, II étant la perpendiculaire abaissée