LIVRE VÏII. — LES COURBES USUELLES

de ce point sur la directrice, T, II <CT, cp ou TiH<CT|F. Le point T, est donc extérieur à la courbe (1032).

Fig. 5^2.

1037. Si l’on mène au point M (fig. 542) une perpendiculaire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, OMN sont égaux comme compléments d’angles égaux (1033). Donc, la normale à la parabole est bissectrice de V angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la parallèle menée à l'axe par ce point.

Au sommet delà parabole, la normalese confond avec l’axe, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

Soient T et N [fig. 54a) les points où la tangente et la normale rencontrent l’axe. Les triangles TMF,NMF étant évidemment isocèles, on a MF = FT = FN. Le foyer F est donc à une distance , soit du pied de la tangente, soit du pied de la normale sur l’axe, égale au ray'on vecteur du point de contact.

1038. Dans le cas de la parabole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent du foyer, deviennent tous parallèles à l’axe après leur réflexion sur la courbe. C’est pourquoi l’on emploie des réflecteurs paraboliques, lorsqu’on veut projeter au loin un faisceau de rayons lumineux parallèles (lanternes de voitures, phares). Réciproquement, tout rayon qui vient rencontrer la parabole parallèlement à son axe se réfléchit au foyer de la courbe. De là, par exemple, l’usage des réflecteurs paraboliques dans les télescopes, pour concentrer au foyer les rayons lumineux venant de l’astre observé.

GÉOMÉTRIE DANS l’eSTACE.

THÉORÈME

1039. Le lieu des points symétriques 9 du foyer F pur rapport aux tangentes à la parabole est la directrice ( fi g . 542).

Celte proposition est évidente d’après ce qui a été dit au n° 1030.

ScOLIES.

1040. Étant donnés un point F et une droite DD7 [fi g. 542), si C on mène des droites F 9 aux différents points de la droite DD', les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs 1 ni lieux enveloppent une parabole qui a pour foyer le point F et pour directrice la droite DD' ; les points de contact de ces tangentes sont à leurs rencontres avec les perpendiculaires menées à la directrice par les points 9.

C’est là un nouveau procédé pour décrire la parabole par points (1029). En le suivant, on n’obtient qu’un point à la fois; mais on a en même temps la tangente en ce point.

1041. On voit que les parallèles à l'axe de la parabole ne rencontrent la courbe qu'en un seul point . Il serait donc faux de dire qu’une droite qui n’a qu’un point commun avec une courbe, même convexe, lui est tangente. Une droite tangente à une courbe convexe n’a qu’un point commun avec elle (982) ; mais la réciproque n’est pas vraie.

THÉORÈME

1042. Le lieu des projections du foyer de la parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet .

MT étant la tangente à la courbe au point M {fi g. 543), et 9 le symétrique du foyer F par rapport à celte tangente, le point K où F9 coupe la tangente est le milieu de F 9. D’ailleurs, le sommet A est le milieu de FL. Donc, dans le triangle FL9, AK est parallèle à la directrice ou se confond avec la tangente au sommet (1037). La projection K du foyer sur une tangente se trouve par suite sur la tangente au sommet.

Réciproquement, K étant un point de la tangente au som-