LIVRE lî. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

!me ouverture de compas égale à b, décrivez un arc de cercle. i A est un point d’intersection du côté BÀ et de cet arc de Cercle, il suffira de tirer AG pour avoir un triangle ABC satisaisantaux conditions exigées.

Discutons maintenant ce problème, c’est-à-dire cherchons gs conditions que doivent remplir les données pour que le iroblème soit possible, et, dans ce cas, les diverses solutions [ui peuvent exister.

i° L’angle B étant aigu [jig. io3), pour que le problème oit possible, il faut que l’arc de cercle rencontre le côté BA, :’est-à-dire que le côté b soit au moins égal à la perpendicuaire CD abaissée du point C sur BA.

Si le côté b est égal à cette perpendiculaire CD, le cercle ouche BA en D, et il n’y a qu’une solution : c’est le triangle “ectangle BCD.

Si le côté b est compris entre la longueur de la perpendiculaire CD et celle du côté a, le cercle coupe la droite BA m deux points A et A' situés au-dessus de B, et de part et l’autre de D; il y a donc deux solutions distinctes : ce sont les .riangles ABC, A'BC.

Enfin, si le côté b est plus grand que a, le point A' passe m-dessous de B, et le triangle correspondant doit être rejeté, puisque son angle en B n’est plus l’angle donné, mais son supplément; il n’y a donc qu’une solution : c’est le triangle ABC.

20 L’angle B étant obtus ( fig . io4), la perpendiculaire CD

Fig. 1 o/| .

ne tombe plus dans l’angle B, mais dans son supplément (44); et, pour que le problème soit possible, c’est-à-dire pour que

GÉOMÉTRIE PLANE

i’arc de cercle coupe la droite BA au-dessus de B, il faut que le côté b soit plus grand que a : ce que l’on pouvait prévoir, car dans tout triangle au plus grand angle doit être opposé le plus grand côté. D’ailleurs, lorsque cette condition est remplie, les deux points d’intersection A et A' sont de part et d’autre de B; le triangle A'BC doit être rejeté, car son angle en B est le supplément de l’angle donné, et il n’y a qu’une solution : c’est le triangle ABC.

3° L'angle B étant droit, le problème est impossible si b est inférieur ou égala a ; il admet une solution unique si b est supérieur à a ,

La discussion est résumée dans le tableau suivant :

B aigu

B droit ou obtus.

1 b < CD .

problème impossible,

1 h - Cl) .

une solution,

i a^> b 7> CD .

deux solutions,

[ b = a ou 3> a . . . .

une solution.

\ b < a ou = a . . . .

problème impossible,

1 b >tf .

une solution.

Ainsi, lorsque b est supérieur à a , le problème a toujours une solution et une seule; en d’autres termes, on peut toujours construire un triangle, et un seul, connaissant deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux, pourvu que l’angle donné soit opposé au plus grand des deux côtés donnés. De là ce théorème :

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, ainsi que l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés.

PROBLÈME

147. Construire un triangle connaissant les trois côtés a, b , c. Tracez [fig. io5) une droite BC égale à a, c’est-à-dire au plus

Fig. io5.

grand des côtés donnés. Du point C comme centre, avec une i