LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

Soit OD la droite donnée [fg. 553). En suivant toujours le même procédé, on considère la droite quelconque BK qui coupe OD au point N ; à

Fig. 553.

cette droite BK correspond la droite B, K qui rencontre en N, l’ordonnée du point N. La droite ON,D, est donc celle qui correspond àOD. On n’a alors qu’à mener au cercle principal les tangentes MT, M'T', parallèles àON^Dj et à tracer, par les points T et T', des parallèles à OD qui sont les tangentes demandées ; leurs points de contact m et m' appartiennent aux ordonnées des points M et M'.

1000. Les constructions précédentes (1058,1059) n’exigent pas que l’ellipse soit tracée : il suffit que ses axes soient donnés.

PROBLÈME

1061. Connaissant les axes tVune ellipse , construire ses points d’intersection avec une droite donnée {Jîg. 554).

Soit DD' la droite donnée; son point L ne changera pas dans la dilatation de l’ellipse. La droite quelconque BK rencontrant DD' au point G et deve-

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

nant 13, K, le point C devient C,. La droite LC, correspond donc à la droite DD' et, comme elle coupe le cercle principal aux points M et M', on n’a plus qu’à ramener ces points sur DD', par des perpendiculaires à AÀ', pour avoir en ni et en m' les points demandés.

THÉORÈME

1062. Tous les diamètres de V ellipse sont des lignes droites passant par son centre.

On entend par diamètre d’une courbe le lieu des milieux des cordes de cette courbe parallèles à une direction donnée. Dans le cercle, tout diamètre est une droite perpendiculaire au système de cordes qu’ildiviseen deux parties égales (103) ou qui lui est conjugué.

Cela posé, tout système de cordes parallèles du cercle a pour projection un système de cordes parallèles de l’ellipse, projection du cercle. Les milieux dés cordes du cercle étant sur un même diamètre, les projections de ces milieux ou les milieux des cordes correspondantes de l’ellipse sont sur une même droite^ projection du diamètre du cercle, c’est-à-dire passant par le centre de l’ellipse. Le théorème est donc démontré.

1063. Réciproquement, toute droite passant par le centre de V ellipse est un diamètre de la courbe: car elle est la projection d’un certain diamètre du cercle dont l’ellipse est la projection. Les cordes conjuguées au diamètre de l’ellipse sont les projections des cordes conjuguées au diamètre correspondant du cercle.

Corollaires.

1061. On nomme diamètres conjugués deux diamètres tels, que chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre. Pour avoir deux diamètres conjugués dans l’ellipse, il suffit évidemment de projeter deux diamètres rectangulaires du cercle.

1065. La tangente à l’extrémité du diamètre du cercle, étant perpendiculaire à ce diamètre, est parallèle au système de cordes qui lui est conjugué. Il en résulte que la tangente à l’extrémité d'un diamètre de l 'ellipse est parallèle au système de coi djs conjugué à ce diamètre.

1066. Si l’on mène deux tangentes à un cercle par un point extérieur, le diamètre mené à leur point de concours est perpendiculaire sur le milieu de la corde qui joint leurs points de contact. Par suite, si l’on mène à une ellipse deux tangentes par un point extérieur, le diamètre mené à leur point de concours passe par le milieu de la corde qui unit leurs points de contact.

LES COURBES USUELLES