LIVRE VIII

Nous renvoyons à l’Appendice pour le développement de la théorie des diamètres dans l’ellipse, l’hyperbole et la parabole.

THÉORÈME

1067. L'aire de V ellipse est la moyenne proportionnelle des aires des cercles construits sur ses deux axes comme diamètres .

L’ellipse donnée, dont les axes sont 2 «et 2 b, peut être regardée comme la projection orthogonale d’un cercle de diamètre 2«, dont le plan fait

avec celui de l’ellipse un angle Y, tel que cosY = ^ (1054). D’après un

théorème connu ( 707 ), on obtiendra alors l’aire de l’ellipse en multipliant l’aire du cercle par cosV. On trouve ainsi, pour l’expression de cette aire,

7 rab, c’est-à-dire yj ko1 .vb'* .

THÉORÈME

1068. Lorsque les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires Ox et O y, un point quelconque M de cette droite décrit une ellipse dont les axes sont dirigés suivant Ox et O y, et ont pour demi-longueurs a et b les distances MA et MB du point M aux extrémités de la droite AB (Jig. 555).

Fig. 555. Fig. 55G.

Prenons pour axes coordonnés (1044) les deux droites Ox et O y; les coordonnées du point M seront MP et OP. Par le point O, menons ON parallèle à ABM, jusqu’à la rencontre de l’ordonnée MP. La figure OAMN étant un parallélogramme,

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

ON sera égale à la longueur constante AM ou a. Les triangles rectangles semblables BPM, OPN, donnent d’ailleurs