MP BM NP ~ ON

ou

Le point M décrit donc l’ellipse (1055) dont le cercle ON est le cercle principal, et qui a pour demi-axes a et 6, c’est-àdire les distances MA et MB.

Ce théorème donne un moyen pratique très-simple de construire une ellipse par points, à l’aide d’une bande de papier sur les bords de laquelle on marque les trois points A, B, M. Il existe un compas elliptique fondé sur ce même principe.

Corollaires.

1069. Considérons ( Jig. 556) la droite donnée dans les deux positions voisines ABM, A'B'M' . Sur les milieux de AA' et de BB', élevons les perpendiculaires au et (3co qui se coupent en co. La perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' passera par le point co. En effet, les deux triangles AcoB, A'coB' étant égaux, les angles ABco, A'B'co sont égaux. Les angles coBM, coB'M' le sont alors eux-mêmes comme suppléments d’angles égaux. Il en résulte l’égalité des triangles co BM, co B' M' et, par suite, celle des distances «M, coM'.

Si l’on suppose maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M considéré comme fixe sur l’ellipse qu’il décrit, MM' tendra vers la tangente à la courbe en M, et la perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' vers la normale au même point. D’ailleurs, au et (3 co ont pour limites les perpendiculaires élevées en A et en B aux axes Oy et O x. En joignant le point I d’intersection de ces perpendiculaires au point M [fi g. 555), on aura donc la normale en M à l’ellipse tracée.

1070. 11 est utile de remarquer que la longueurMl comptée sur la normale en M [jig. 555), est égale à la longueur du demi-diamètre qui est conjugué au diamètre OM.

Soit, en effet (Jig. 55^), OM' le diamètre conjugué au diamètre OM ; ce diamètre conjugué est parallèle à la tangente