LIVRE VIII. - LES COURGES USUELLES

en M (1065) , c'est-à-dire que la normale MI lui est perpendiculaire. De plus, le rayon du cercle principal qui correspond à GM est parallèle à la position de la droite AB qui donne le point M de l’ellipse (1068), et le rayon de ce cercle qui correspond à OM' est de même parallèle à A'B'M'. Les diamètres conjugués de l’ellipse répondant à des diamètres rectangulaires du cercle principal (106k), on en conclut que ABM est perpendiculaire à A'B'M'. Comme BI, d’ailleurs, est perpendiculaire à OB', les deux triangles MBI, M'B'O, qui ont le côté MB égal au côté M'B', ont leurs angles égaux (77) et sont égaux ; par suite, MI = OM\

PROBLÈME

1071. Étant- donnés deux diamètres conjugués deV ellipse en grandeur et en direction , construire les axes de la courbe.

Soient (fi g. 55^) OM et OM' les demi-diamètres conjugués

donnés, dont les longueurs sont a' et br. En menant par le point M une perpendiculaire à OM' et en prenant sur cette perpendiculaire MI = 6', nous aurons le sommetl du rectangle inconnu IAOB (1070). Les sommets B et A de ce rectangle se trouvent à la fois sur le cercle circonscrit dont le diamètre est IO et sur la droite qui unit le point Mau centre K de ce cercle: ils sont donc déterminés. En joignant ces points B et A au point O, on a les axes de l’ellipse en direction ; de plus, MA et MB représentent leurs demi-longueurs (1068, 1069).

GÉOMÉTRIE DAiNS L’ESPACE.

THÉORÈME

1072. Quand les extrémités d’une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites fixes quelconques Ox et Or, un point quelconque M, lié invariablement à AB dans le plan AOB, décrit une ellipse (fig. 558).

Considérons une position quelconque de la droite AB et faisons passer un cercle par les trois points A, B, O. Si l’on suppose ce cercle lié à la droite AB et entraîné dans son mouvement, il passera toujours par le point O; car l’angle AOB, ayant pour mesure la moitié de l’arc invariable AB compris entre ses côtés, ne peut pas cesser d’être inscrit. Le diamètre OC de ce cercle, dans la position actuelle de la droite AB, s’obtient en élevant en B et en A, aux axes Ox et Oy, des perpendiculaires qui se coupent au point C.

Le cercle OC changeant de position en même temps que la droite AB, l’arc AD qui sépare le point A d’un point quelconque D de sa circonférence reste constant; par suite, l’angle AOD restant lui-même constant et ayant son côté OA fixe, tout point D du cercle OC décrit une droite OY.

Si l’on trace le diamètre du cercle OC qui passe par le point

LES COURBES USUELLES