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qui, après qu’on y a remplacé les segments CA, CB, . . . par leurs valeurs OA — OC, OB — OC, . . . , revient, tous calculs effectués, à la suivante :

( 2 ) q -h q = 2 pp\

dans laquelle les deux couples de points (A, B), (C, D), ne figurent plus que par leurs éléments {p, q), (//, q).

Cela posé, supposons que, le couple (A, B) restant réel, la quantité p'2 — q devienne négative ; les points C et D cesseront d’exister, et la relation ( i ) n’aura plus de sens explicite; mais rien n’empêchera de la conserver comme manière symbolique d’écrire la relation (2) qui subsiste toujours, et à laquelle la relation ( 1 ) se réduit lorsqu’on effectue les calculs d’après les règles de l’Algèbre. Ainsi, au lieu de dire que, lorsque p'2 — q est négatif, il n’existe plus de couple de points divisant harmoniquement le segment AB, mais qu’il existe seulement entre les éléments p,q,p',q', la relation (2), on pourra dire que le couple (C, D) des points qui divisent harmoniquement le segment AB devient imaginaire, et employer la forme symbolique ( 1 ), qui fait bien plus image que la relation (2) à laquelle elle revient au fond. Les avantages de cette nouvelle manière de voir sont connus du lecteur qui est déjà versé dans l’Analyse algébrique. En Géométrie comme en Algèbre, l’introduction des imaginaires permet de généraliser les énoncés, évite les subdivisions, et leur emploi transitoire fournit des démonstrations rapides et élégantes.

Remarquons en terminant que, si (comme nous le supposons toujours) les éléments p, </, //, /y', sont réels, la relation (2) exige que l’une des deux quantités p2 — q , p'2 — </', soit positive ; car, si l’on avait à la fois

3y 4 GÉOMÉTRIE DANS L’ESrACE.

on aurait

ou, à cause de (2),

p1 -h //2 — ipp < o, c’est-à-dire (/;> — p )2 < o,

ce qui est absurde. Ainsi, quand deux couples de points en ligne droite joignent une division harmonique, l’un des couples au moins est réel.

Rappelons enfin la signification géométrique de l’élément p ; cet élément exprime la distance de l’origine O [fig. 200) au milieu I du segment AB, puisqu’on a

/? = *( OA-t-OB) = OI (303).

Lorsque le couple (A, B) est imaginaire, les imaginaires' disparaissent dans la somme des deux quantités conjuguées OA et OB, de sorte que le milieu I du segment compris entre deux points imaginaires conjugués A et B est toujours réel.

FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES.

1108. On dit que deux faisceaux sont homographiqu.es lorsqu’on peut trouver deux droites L et L' qui les coupent suivant deux divisions homographiques.il est clair cyé alors toute section rectiligne L, du premier jaisceau sera homographique d’une section rectiligne quelconque L't du second faisceau; car les divisions L et L,, étant en perspective, sont homographiques (1103); il en est de même de L' et de L',, et, comme L et L' sont homographiques par hypothèse et que deux divisions homographiques d’une troisième sont homographiques entre elles (1100), les deux divisions L( et L\ sont homographiques.

Pour que deux faisceaux soient homographiques , il faut et il suffit que quatre droites quelconques du premier aient le meme rapport enharmonique que les quatre droites homologues du second ( 320 et 1101, 2°).

Deux faisceaux homographiques sont déterminés par trois couples de rayons homologues (1100).

Quand deux faisceaux homographiques ont un rayon homologue commun, les autres rayons homologues se coupent deux à deux sur une ligne droite : c’est le théorème fondamental du n° 322 avec un autre énoncé.

1109. Deux faisceaux homographiques de meme centre ont toujours deux rayons doubles ( réels ou imaginaires ), c’est-à-dire deux rayons tels, que chacun d’eux, considéré comme appartenant au premier faisceau,