LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

coïncide avec son homologue dans le second faisceau. On obtient ces rayons en joignant le centre commun des deux faisceaux aux points doubles des deux divisions homographiques, déterminées par les deux faisceaux sur une transversale arbitraire.

Lorsqu'un angle tourne autour de son sommet S [J/g. 57 \ ) , ses deux

Fig. 574.

côtés engendrent deux faisceaux homographiques concentriques , car, les angles du premier faisceau étant respectivement égaux à ceux du second, quatre droites quelconques du premier faisceau ont (321) le même rapport anharmonique que les quatre homologues du second. Les rayons doubles de ces deux faisceaux sont évidemment imaginaires , et il importe de remarquer que la position de ces rayons doubles imaginaires est indépendante de la grandeur de l’angle. En effet, soit L une transversale quelconque et I'SI, O'SO, J'SJ, trois positions de l’angle donné relatives, la première au cas où le second côté est parallèle à L, la seconde au cas où le premier côté est perpendiculaire à L, et la troisième au cas où le premier côté est parallèle à L. Tout revient à trouver les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques que les côtés de l’angle tracent sur L. Or I et J' sont les points limites de ces deux divisions, et O, qui est évidemment leur milieu, est le milieu des points doubles; ces points sont donc, de part et d’autre de O, à une distance égale (1105) à

v/UJ'.ÛO' = yj — OJ'.O'O.

Mais, puisque O'SO = J'SJ, l’angle O' SJ' est droit, et l’on a

O'O.OJ' = Sü* ;

donc, la distance du point O aux deux points doubles est égale à SO.v^— 1; d’où l’on voit qu’elle dépend de la distance de la transversale L au sommet S de l’angle, mais en aucune manière de la grandeur de cet angle.

Réciproquement, lorsque deux divisions homographiques de même base ont leurs points doubles imaginaires, on peut considérer ces deux divisions comme tracées par un certain angle de grandeur constante tournant autour de son sommet. En effet, 1 et J' étant les homologues de l’infini,

GÉOMÉTRIE DANS l’ ESPACE.

0 leur milieu et 0' son homologue, décrivons une circonférence sur 0'P comme diamètre, jusqu’à la rencontre S (ou S,) de la perpendiculaire éievée par 0 sur la base L. L’angle OSO', en tournant autour du point S, tracera sur L deux divisions homographiques dont (0, 0'), (I, ),(<», J')

seront trois couples de points homologues; car, si l’on mène I'SJ parallèle à L, les angles OSJ, O'S.V, I'SO, étant droits, les angles JSJ', O'SO, l'SI, seront égaux. Donc ces deux divisions, ayant trois couples de points homologues communs avec les deux divisions proposées, ne diffèrent pas de celles-ci.

INTERSECTION ü’UNE DROITE ET D’UN CERCLE. — POINTS CYCLIQUES

d’un PLAN.

1110. Il résulte du n° 321 que : i° lorsqu'un point mobile m décrit un cercle, les droites P///, P 'ni, qui joignent ce point à deux points fixes, P et P', pris à volonté sur la circonférence , forment deux faisceaux homographiques ; i° lorsqu'une droite mobile enveloppe un cercle, elle trace sur deux tangentes fixes de ce cercle deux divisions homographiques.

Une droite quelconque L du /dan d’un cercle C rencontre toujours la circonférence en deux points ( réels ou imaginaires ) ; car, les deux divisions homographiques tracées sur L par les rayons P/w, P ' my des deux faisceaux, ont toujours deux points doubles (réels ou imaginaires). Le milieu des deux points d’intersection est toujours réel : c’est, la projection O du centre C du cercle sur la droite L; car, si l'on choisit pour les points P et P' {fi g. 5y5) les extrémités du diamètre perpendiculaire à L, les deux points I et J', homologues de l’infini dans les deux divisions homographiques aê. . . , a'6\ . . , tracées sur L, coïncident avec 0, de sorte que O est le milieu des deux points doubles. Le carré de la distance des deux points cl' intersection au point O est égal à 4a puissance du point 0 par rapport au cercle, changée de signe. Car, puisque I et J' sont confondus avec O, le produit Oa.Oa' est constant (1105), et le carré de la distance du point O aux deux points doubles est égal à cette constante; or, si (3 et (3' sont les deux points homologues qui répondent au point /?, milieu du demi-cercle P/nP', 0(3 et 0(3' sont en valeur absolue égaux à OP et à OP', et la constante est égale à — OP'. OP.

1111. Considérons un cercle C [fig. et la droite à l’infini situéo dans son plan. P et P' étant deux points fixes pris à volonté sur la circonférence C, les rayons P m et P ' m tracent sur la droite de l’infini, quand le points décrit le cercle, deux divisions homographiques dont les points doubles imaginaires appartiennent à la fois à la droite et au cercle. Or,