LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

si « est un point pris à volonté dans le plan du cercle, les parallèles à P/>* et V ni, menées par ce point, vont couper la droite de l’infini aux mêmes points a et a' que les rayons P ni et P'/w; d’ailleurs, l’angle awa' de ces

I'ig. 5;d.

parallèles est constant, puisque, en vertu de la propriété de l’angle inscrit,

l’inclinaison mutuelle des droites P ni et P'/;/ ne varie pas; donc, les points

d'intersection du cercle et de la droite de l’infini sont les noints doubles

imaginaires des deux divisions homographiques tracées sur cette droite par un angle de grandeur constante tournant autour du point w.

En faisant varier la position et la grandeur du cercle ainsi que la position des points P et P' sur le cercle, on ne fait que changer la grandeur de l’angle qui tourne autour du point fixe w, et, comme la situation des points doubles imaginaires est indépendante (1109) de la grandeur de l’angle, on arrive à cette conclusion : Tous les cercles situés dans un plan ont les deux mêmes points imaginaires communs avec la droite a V infini de ce plan. Nous donnerons à ces deux points, dont la considération est souvent utile, le nom de points cycliques du plan.

Deux cercles quelconques, C et C', admettent donc la droite de l’infini pour corde commune. L 'axe radical L des deux cercles est une seconde corde commune; en effet, les points réels ou imaginaires où cet axe rencontre l’un quelconque des deux cercles sont de part et d’autre du point O, à une distance égale à la racine carrée de la puissance, prise en signe contraire, du point O par rapport au cercle considéré (1110); et comme, si L est l’axe radical, le point O a la même puissance par rapport aux deux cercles, on voit que l’axe radical coupe ces cercles aux deux mêmes points.

Ainsi, deux cercles quelconques ont toujours quatre points d'intersection situés deux à deux sur deux cordes communes réelles , qui sont l'axe

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

radical et la droite cle V infini. Les deux points d’intersection situes sur l’axe radical peuvent être tous deux réels ou tous deux imaginaires. Quand les cercles sont concentriques , l’axe radical passe à l’infini, les deux cordes communes se confondent, et les deux cercles ont un double \ contact imaginaire à V infini. Ces dernières idées ont été émises d’abord j par Poncelet ( Propriétés projectives, ire Section, Chapitre II); mais, de- j puis cette époque, l’introduction des imaginaires en Géométrie a donné j lieu à de remarquables travaux (Smith, Annales de Tortolini, 1869; ! Laguerre, Nouvelles Annales, 1870, etc.).