LIVRE VIII

Un angle droit tournant autour de son sommet engendre un faisceau involutif dont les rayons doubles sont imaginaires (381, 2°).

1119. Quand plusieurs cordes ad , bb\ cc' , , d'un cercle passent par un même point w, les couples de droites menées d'un point quelconque 0 de la circonférence aux extrémités de chaque corde sont en involution

C fis*

Fig. 576.

ïl suffit de démontrer l’égalité des rapports anharmoniques (0 .abca’), (O.a1 b1 c' a). Or, si l’on désigne par O' le second point d’intersection du cercle et de la droite Ow, on voit quele-rapportanharmonique (0 ’.a'b'c'd) est égal à- chacun des deux qui précèdent. Il équivaut au premier, puisque les droites Oa , 0 b, Oc, 0 a', coupent respectivement les droites 0' a', O'ù', O'c', O1 a, sur la polaire du point w ( 3 44) ; et il équivaut au second, d’après l’observation faite au n°321, i°.

Réciproquement, si par le centre commun 0 d'un faisceau involutif on fait passer un cercle quelconque, les cordes interceptées dans ce cercle par les couples de rayons homologues concourent en un même point <e. Car, si w est l’intersection des deux cordes aa! et bb' , et si l’on désigne pour un instant par c" le second point où la droite w c rencontre le cercle, les droites 0 a, Oa!, Ob, Où', Oc, Oc", seront en involution d’après le théorème direct ; or, Oa , Oa1, Ob, Ob' , Oc, Oc', sont en involution par hypothèse; donc, Oc' et Oc" coïncident, et, par suite, les points c"et c' ; la corde c'c passe donc par w.

De là résulte immédiatement cette proposition très-importante :

Dans tout faisceau involutif, il existe toujours un couple de rayons homologues rectangulaires. Ce sont les deux rayons 0 d, Od' , qui aboutissent aux extrémités du diamètre qui passe par w. Toutefois, si le point w était au centre du cercle, tous les couples de rayons homologues seraient rectangulaires. Ainsi le couple de rayons homologues rectangulaires est unique , à moins que tous les couples ne soient rectangulaires ; dans ce cas particulier, les rayons doubles sont imaginaires : cela résulte du n° 381, '20; on peut aussi le voir directement, car les rayons doubles correspondent

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

en général aux points de contact des tangentes menées au cercle par le point w ; or ces tangentes sont imaginaires quand le point w est au centre du cercle.