PROPRIÉTÉS I N V O L U T I V E S DU QUADRILATÈRE

1120. Toute transversale L menée dans le plan d'un quadrilatère ABCD rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points , a et a' , b et b1, c et c' , qui sont en involution {J/g. 577) ; car les faisceaux homographiques { AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA, CD, Ce'), déterminent sur L deux divisions homographiques, et l’on a

[acb'c')= ( bca'c ') ou (321) ( acb'c ') = (a'c' b c),

d’où l’on conclut (1113) que les segments <7«', bb\ ce , sont en involution.

Les six droites menées d’un point quelconque O du plan d’un quadrilatère ABCD aux sommets et aux points de concours E et F des côtes opposés , sont en involution ; car le quadrilatère OAFB, dont OF et AB sont les diagonales, détermine, d’après le théorème précédent, six points en involution sur la transversale DC ; donc, les droites OA et OC, OB et OD, OF et OF, qui passent par ces six points, sont en involution.

En plaçant le point O à l’intersection des deux circonférences décrites sur AC et BD comme diamètres, les couples de rayons homologues OA et OC, OB et OD, seront rectangulaires ; donc, le troisième couple OE et OF le sera aussi (1119), et, par suite, la circonférence décrite sur EF comme diamètre passera par les deux points communs aux deux premières; donc, les trois circonférences décrites sur les trois diamètres AC, BD, EF, d'un quadrilatère complet comme diamètres, se coupent aux deux memes points ; d’où l’on peut conclure immédiatement le théorème du nu 317.

1121. Quand un quadrilatère ABCD est irisait dans un cercle, une transversale quelconque L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en trois couples de points [ a , a1), [b, b '), (<?,/), qui sont en involutiun {Jlg. 577).

En effet, les droites qui joignent aux points fixes A et C un point mobile qui décrit la circonférence, forment deux faisceaux homogra-

1122. Quand un quadrilatère abcd est circonscrit à un cercle, si d’un point O situé dans son plan on mène des droites O a, O ù, Oc, O d, lises sommets et deux tangentes OE, OF, à la courbe, les trois couples de droites O a et Oc, O b et Qd, OE et OF, sont en involution [ f/g . 578).

En effet, une tangente, en roulant sur le cercle, trace sur les tangentes fixes ab et cd deux divisions homographiqucs(l 1 10). Les droites