LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

phiques (1110); par suite, ces fais ceaux tracent sur l deux divisions homographiques dont c et / sont les points doubles. D’ailleurs, comme AB et BC, AD et CD, sont deux couples de rayons homologues des deux faisceaux, a et 5, b' et a\ seront deux couples de points homologues des deux divisions. Donc (1115) les trois couples [a, a'), {b, b'), (<?,/), sont en involution.

Fig. 577

Au lieu de prendre les deux couples de côtés opposés, on pourrait prendre un couple de côtés opposés et les deux diagonales; le théorème subsisterait, car ces quatre droites forment aussi un quadrilatère inscrit au même cercle.

Il résulte du théorème précédent que, si un quadrilatère inscrit à un cercle se déforme de telle sorte que trois de ses côtés tournent autour de

R. et DE C. — Tr. de Géoru. (

menéesdu pointOà ces divers points forment donc deux faisceaux homographiques dont OE et ÜF sont les rayons doubles. D’ailleurs, comme a et <7, b et c, sont deux couples de points homologues des deux divisions, O a et Oc/, Oôet Oc, sont deux couples de rayons homologues des deux faisceaux. Donc (11 18) les trois couples O a et Oc, O b et Oc/, OE et OF, sont en involution.

Fig. 578.

Au lieu de prendre les deux couples de sommets opposés, on pourrait prendre un couple de sommets opposés et les deux points de concours e et f des côtés opposés ; le théorème subsisterait, car ces quatre points sont aussi les sommets d’un quadrilatère circonscrit au même cercle.

Il résulte du théorème précédent que, si un quadrilatère circonscrit à un cercle se déforme de telle sorte que trois de ses sommets glissent sur IIe Partie). 3 5

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

trois points en ligne droite , le quatrième côté tourne aussi autour d’un point fixe de cette droite.

On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Inscrire dans un cercle un triangle dont les

trois cotes passent par trois points en ligne droite.

trois droites passant par un meme point, le quatrième sommet décrit aussi une droite passant par ce point.

On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Circonscrire à un cercle un triangle dont les sommets reposent sur trois droites données et passant par un meme point.

Le théorème du n° J 121 est dû au célèbre géomètre français Desargues (première moitié du xvne siècle); toutefois, les anciens [Collections mathématiques de Pappus ) en ont connu des cas particuliers.

1123. Voici les deux cas particuliers les plus intéressants :

En supposant un ou deux côtés infiniment petits et remplacés par des tangentes, on a ces énoncés :

Quand un triangle est inscrit dans un cercle, les points où une transversale rencontre la courbe, deux côtés du triangle, le troisième côté et la tangente au sommet opposé, sont en involution.

Quand un angle est circonscrit ci

un cercle, les points où une transversale rencontre la courbe, les deux côtés de l'angle et la corde de contact, forment une involution dont le dernier point est un point double.

En supposant que le quadrilatère circonscrit se réduise à un triangle ou à un angle, on a ces énoncés :

Quand un triangle est circonscrit à un cercle, si d’un point quelconque de son plan on mène les deux tangentes au cercle, les deux droites qui aboutissent à deux sommets, et les deux droites qui aboutissent, l'une au troisième sommet, Vautre au point de contact du côté opposé , on obtient un faisceau involutif.

Quand un angle est circonscrit à un cercle, si cl’un point quelconque de son plan on mène les deux tangentes au cercle, les deux droites qui aboutissent aux points de con tact des côtés de l’angle et la droite qui passe par le sommet de l’angle, on obtient un faisceau involutif dont la dernière droite est un rayon double.

CONSTRUCTIONS RELATIVES A l’iIOMOGRAPIIIE ET A L’iNVOLUTION.

1124. Construire deux divisions ho mo graphique s , connaissant trois couples de points homologues.

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